ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΑΡΑΔΟΞΟΥ

[pankratisths]

ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΑΡΑΔΟΞΟΥ

ΠΟΣΟ ΚΑΝΕΙ 5 ΔΙΑ 0,5;
ΕΝΑ ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΑΥΤΟΝΟΗΤΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ. ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΑ ΣΥΜΒΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 10. ΕΝΤΟΥΤΟΙς ΑΥΤΟ ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ. ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΤΟΙΣ ΠΑΣΙ ΠΩΣ ΣΕ ΕΝΑ ΚΛΑΣΜΑ ΟΤΑΝ ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ Ο ΠΡΟΚΥΠΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ. ΕΠΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΙ ΟΤΑΝ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΕΟΣ ΕΙΝΑΙ 5 ΚΑΙ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ 5 ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 1. ΟΤΑΝ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ. ΟΤΑΝ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 1 ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 5. ΣΥΜΦΩΝΑ ΛΟΙΠΟΝ ΜΕ ΤΑ ΣΥΜΒΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΤΑΝ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 0,5 ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΙΝΑΙ 10. ΔΗΛΑΔΗ ΕΠΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΜΙΑ ΠΙΤΣΑ 5 ΚΟΜΜΑΤΙΩΝ, ΤΗ ΜΟΙΡΑΖΟΥΜΕ ΣΕ ΜΙΣΟ ΑΤΟΜΟ ΚΑΙ ΤΟ ΜΙΣΟ ΑΤΟΜΟ ΛΑΜΒΑΝΕΙ 10 ΚΟΜΜΑΤΙΑ;!!! ΕΙΠΑΜΕ ΠΡΙΝ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΔΥΝΑΤΟ ΑΚΕΡΑΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΗ, ΜΕ ΤΟ ΕΝΑ, ΟΤΙ ΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΠΟΥ ΘΑ ΛΑΜΒΑΝΕ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΜΕΝΟ ΣΤΟ ΤΡΕΧΟΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΝΑ ΑΤΟΜΟ ΑΠΟ ΤΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΤΗΣ ΠΙΤΣΑΣ ΕΙΝΑΙ 5 ΚΟΜΜΑΤΙΑ, ΗΤΟΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΗΣ ΠΙΤΣΑΣ. ΠΩΣ ΛΟΙΠΟΝ ΓΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΜΙΣΟ ΑΤΟΜΟ ΝΑ ΛΑΜΒΑΝΕΙ 10 ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΜΙΑΣ ΠΙΤΣΑΣ ΙΣΟΠΟΣΗΣ ΜΕ 5 ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΤΟΥ ΕΝΟΣ; ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΦΙΚΤΟ ΝΑ ΛΑΒΕΙ ΚΑΤΙ ΠΛΕΟΝ ΑΠΟ ΤΟ ΥΠΟΣΤΑΤΟ. ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΦΙΚΤΟ ΝΑ ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΤΕΙ Η ΔΙΑΙΡΕΤΕΑ ΥΛΗ ΔΙΑΙΡΕΣΕΩΣ ΜΕ ΔΙΑΙΡΕΤΗ ΙΣΟ ΜΕ ΤΟ ΜΙΣΟ. ΑΜΕΣΩΣ ΑΝΑΚΥΠΤΕΙ ΕΝΑ ΕΥΛΟΓΟ ΕΡΩΤΗΜΑ ΜΗΠΩΣ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ 5 ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΥΛΗΣ ΣΕ ΜΙΣΟ ΑΤΟΜΟ ΙΣΟΥΤΑΙ ΠΑΛΙ ΜΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΤΕΑΣ ΥΛΗΣ, ΗΤΟΙ ΜΕ 5, ΟΠΩΣ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΧΕΙ ΚΑΙ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΔΥΝΑΤΟ ΑΚΕΡΑΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΗ, ΗΤΟΙ 1; ΩΣ ΠΡΟΑΝΑΦΕΡΘΗΚΕ Ο ΕΛΑΧΙΣΤΟΣ ΔΥΝΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ 1. ΤΟ ΕΝΑ ΑΣ ΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ΥΠΟ ΕΝΑ ΑΡΧΙΚΟ ΠΡΙΣΜΑ ΕΙΝΑΙ Η ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΚΒΑΝΤΙΣΜΕΝΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ. ΜΕ ΟΡΟΥΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟ ΕΝΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΑΤΟΜΟ. ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΑΤΜΗΤΟ ΣΥΝΕΧΕΤΑΙ, ΜΕ ΕΚΕΙΝΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΤΕΜΝΕΤΑΙ. ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΑΛΙΣΤΑ ΚΑΙ Ο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ, ΠΡΟΣΩΠΟΥ ΩΣ ΑΤΟΜΟΥ ΣΥΝΕΧΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΤΟΥ ΕΝΟΣ, ΓΙΑΤΙ ΑΝΑΓΚΑΙΩΣ ΕΝΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΝΟΗΘΕΙ, ΔΕ ΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ, ΕΙΝΑΙ ΑΤΜΗΤΟΣ, ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΤΟΜΟ. Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΔΗΛΑΔΗ, ΕΝΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΚΒΑΝΤΙΣΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΑΝΕΠΙΔΕΚΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΕΩΣ. ΔΕΝ ΝΟΕΙΤΑΙ ΜΙΣΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΘΗΚΑΝ ΧΑΡΙΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ. Η ΥΛΗ ΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ. ΣΕ ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΤΜΗΤΟΣ, ΩΣ Ο ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ ΔΥΝΑΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ . ΜΑΛΙΣΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΥΤΟ ΑΚΡΙΒΩΣ ΣΗΜΑΙΝΕΙ, Ο ΕΚ ΠΡΩΤΗΣ ΘΕΩΡΗΣΕΩΣ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΝΕΠΙΔΕΚΤΟΣ ΔΙΑΙΡΕΣΕΩΣ ΑΡΙΘΜΟΣ. ΟΜΩΣ ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗ, ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΑΥΤΟΔΙΚΑΙΩΣ ΟΤΙ ΕΛΑΒΕ ΧΩΡΑ ΑΚΡΙΒΩΣ ΑΥΤΗ Η ΥΠΟΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΥΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΠΟΥ ΥΠΟΚΑΘΙΣΤΟΥΝ ΤΟΥΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ ΑΝΑΦΟΡΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΓΝΩΡΙΣΜΑ ΤΟΥΣ ΩΣ ΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΕΠΟΜΕΝΟΙ ΣΤΗ ΣΕΙΡΑ ΑΡΧΙΚΩΣ ΘΕΩΡΗΘΕΝΤΕΣ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ, ΑΔΙΑΙΡΕΤΟΙ, ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΟΝΟΜΑΖΟΝΤΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΓΙΑΤΙ ΤΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΣ ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΑΛΛΑ ΠΛΕΟΝ ΕΧΕΙ ΣΗΜΑΤΟΔΟΤΗΘΕΙ ΜΙΑ ΜΕΙΖΟΝΑ ΑΛΛΑΓΗ, ΗΤΟΙ ΠΩΣ ΠΛΕΟΝ Η ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ΔΥΝΑΤΗ ΚΒΑΝΤΙΣΜΕΝΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΥΛΗΣ ΚΑΤΟΠΙΝ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΤΟΜΗΣ – ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ 0,1 ΑΝΤΙ ΤΟΥ ΕΝΟΣ. ΜΕΧΡΙ ΠΡΟΤΙΝΟΣ ΟΜΟΙΩΣ ΜΕΧΡΙ ΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ΔΥΝΑΤΟ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΗΤΑΝ ΤΟ ΑΤΟΜΟ, ΕΝΩ ΕΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΝΟΗΘΗΚΑΝ ΜΙΚΡΟΤΕΡΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. ΚΑΘΕ ΛΟΙΠΟΝ ΦΟΡΑ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΟΥ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΟΠΙΝ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΕΩΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΔΕΚΑ ΤΙΘΕΤΑΙ ΕΝΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗ, ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΝΤΟΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΥ ΔΥΝΑΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΟΥ ΩΣ ΚΒΑΝΤΙΣΜΕΝΟΥ ΕΚΑΣΤΗ ΦΟΡΑ. ΓΙ ΑΥΤΟ ΛΟΙΠΟΝ ΟΤΑΝ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ 0,5 ΣΥΝΕΠΑΓΕΤΑΙ ΠΩΣ ΗΔΗ Ο ΜΕΧΡΙ ΠΡΟΤΙΝΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΕΝΑ, ΕΧΕΙ ΔΙΑΙΡΕΘΕΙ ΣΕ ΔΕΚΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΙΣΟΠΟΣΑ ΤΟΥ 0,1. ΠΛΕΟΝ ΤΟ 1 ΩΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ, ΩΣ ΑΤΟΜΟ ΕΧΕΙ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΘΕΙ ΑΠΟ ΤΟ 0,1. ΑΥΤΟ ΟΜΩΣ ΔΕΝ ΑΦΟΡΑ ΜΟΝΟ ΤΟ ΔΙΑΙΡΕΤΗ ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΤΟ ΔΙΑΙΡΕΤΕΟ. ΓΙ ΑΥΤΟ ΛΟΙΠΟΝ ΕΚΑΣΤΟ ΕΚ ΤΩΝ ΠΕΝΤΕ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΥΛΗΣ ΥΠΟΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ ΣΕ ΔΕΚΑ ΜΙΚΡΟΤΕΡΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ. ΑΥΤΑ ΤΑ ΥΠΟΔΕΚΑΠΛΑΣΙΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΠΛΕΟΝ ΙΣΟΥΝΤΑΙ ΜΕ 50... ΚΑΙ ΟΠΩΣ ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ ΟΙ ΠΛΕΙΟΝΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΤΟ 5 ΜΕ ΔΙΑΙΡΕΤΕΟ ΤΟ 0,5 ΑΠΑΛΕΙΦΕΙΣ ΤΗΝ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗ ΤΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ ΔΕΚΑ. ΤΟ ΑΥΤΟ ΛΑΜΒΑΝΕΙ ΧΩΡΑ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΙΡΕΤΕΟ. ΑΡΑ ΕΧΟΥΜΕ 50 ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΟΧΙ ΟΜΩς ΤΟΥ ΕΝΟΣ, ΑΛΛΑ ΤΟΥ 0,1 ΔΙΑΙΡΟΥΜΕΝΑ ΣΕ 5 ΟΧΙ ΟΜΩΣ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΑΛΛΑ ΤΟΥ 0,1. ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΕΙΔΗ ΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΜΥΑΛΟ ΑΝΤΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ΤΟΥΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΔΙΑΙΡΕΙ ΜΕ 5 ΑΝΤΙ ΓΙΑ 0,5 , ΔΗΛΑΔΗ ΜΕ 5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΜΕ ΤΟ ΔΕΚΑ. ΕΝ ΠΑΣΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙ ΤΟ ΔΕΚΑ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΕΙΝΑΙ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΟΥ 0,1 ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΚΑΙ ΔΕΚΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΑΝΑΚΥΠΤΟΝΤΑ ΕΚ ΤΩΝ 50 ΚΟΜΜΑΤΙΩΝ ΙΣΩΝ ΜΕ 0,1 ΕΠΙΜΕΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ 0,5 ΑΝΘΡΩΠΟΥΣ Ή ΣΕ 5 ΑΝΘΡΩΠΟΥΣ ΤΟΥ 0,1 !!! ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 1 ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΕ ΔΕΚΑ! ΚΑΤΙ ΠΟΥ ΤΑΙΡΙΑΖΕΙ ΛΟΓΙΚΑ ΓΙΑΤΙ ΔΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΕΩΣ ΟΥΤΕ ΔΙΠΛΑΣΙΑΖΕΤΑΙ Η ΥΛΗ, ΑΛΛΑ ΕΠΙΜΕΡΙΖΕΤΑΙ ΣΕ ΣΕ 5 ΕΚ ΤΩΝ ΔΕΚΑ ΠΡΟΚΥΠΤΟΝΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΑΤΟΜΟΥ, ΟΥΤΩΣ ΩΣΤΕ ΝΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙ ΕΝΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΙΡΕΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΣΤΟΝ ΚΑΘΕΝΑ.
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΕΝΑΝΤΙΑ ΣΕ ΠΙΘΑΝΑ ΑΝΤΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ 1 – ΑΝΑΤΡΟΠΗ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ ΟΤΑΝ ΟΙ ΦΟΡΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΟΣ
ΕΠΙΣΗΣ ΛΑΜΒΑΝΕΙ ΧΩΡΑ ΛΟΓΙΚΩΣ ΚΑΙ ΑΚΟΛΟΥΘΩΣ ΑΝΑΤΡΟΠΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΠΕΡΙΣΤΑΣΗ. Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΩΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΕΩΣ ΚΑΙ ΩΣ ΕΠΕΞΗΓΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΕΩΣ ΛΟΙΠΟΝ ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΑΡΧΗ, ΠΩΣ Α ΕΠΙ Β ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ Β ΕΠΙ Α. ΕΠΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΙ 3 ΦΟΡΕΣ ΑΝ ΠΡΟΣΘΕΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΑΡΙΘΜΟ 10 ΚΑΙ 10 ΦΟΡΕΣ ΑΝ ΠΡΟΣΘΕΣΟΥΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΜΑΣ ΔΙΔΕΙ ΤΟ ΑΥΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ. ΑΣ ΠΑΡΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ ΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙ ΜΕ ΜΠΙΛΙΕΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΕΙΧΑΜΕ ΟΤΑΝ ΗΜΑΣΤΑΝ ΜΙΚΡΟΙ. ΚΑΘΕ ΣΕΙΡΑ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΧΕΙ ΚΑΠΟΙΕΣ ΜΠΙΛΙΕΣ. Η ΚΑΘΕ ΜΠΙΛΙΑ ΕΞ ΑΥΤΩΝ ΕΙΝΑΙ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΣΗ ΜΕ 10. ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΠΛΕΥΡΑ ΠΡΟΣ ΤΗ ΔΕΞΙΑ ΤΡΕΙΣ ΜΠΙΛΙΕΣ. ΕΧΟΥΜΕ ΔΗΛΑΔΗ 3 ΜΠΙΛΙΕΣ ΤΩΝ 10, ΑΡΑ 30. ΕΠΙΣΗΣ ΕΧΟΥΜΕ ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙ. ΕΚΕΙ ΟΙ ΜΠΙΛΙΕΣ ΣΤΙΣ ΣΕΙΡΕΣ ΕΙΝΑΙ ΙΣΕΣ ΠΟΣΟΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ 3. ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΜΕ 10 ΜΠΙΛΙΕΣ ΔΕΞΙΑ ΤΩΝ 3, ΑΡΑ 30. ΣΥΝΕΠΩΣ 3 ΕΠΙ ΔΕΚΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΔΕΚΑ ΕΠΙ 3. ΜΕΤΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΝΑ ΤΡΙΤΟ. ΣΤΟ ΤΡΙΤΟ Η ΚΑΘΕ ΜΠΙΛΙΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 0,5. ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΜΕ ΔΕΚΑ ΜΠΙΛΙΕΣ ΔΕΞΙΑ. ΔΕΚΑ ΕΠΙ 0,5 ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 5 ΠΡΑΓΜΑΤΙ. ΤΕΛΟΣ ΕΠΑΝΕΡΧΟΜΑΣΤΕ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙ ΜΕ ΤΙΣ ΜΠΙΛΙΕΣ ΜΕ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΙΣΟΠΟΣΗ ΤΩΝ 10, ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΛΥΤΕΡΕΣ ΤΩΝ ΠΡΟΘΕΣΕΩΝ, ΔΗΛΑΔΗ ΜΕ ΤΟ ΝΑ ΒΑΛΟΥΜΕ ΜΙΣΗ ΜΠΙΛΙΑ ΣΤΑ ΔΕΞΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΤΟ ΠΕΤΥΧΑΙΝΟΥΜΕ. ΚΟΒΟΥΜΕ ΤΗ ΜΙΣΗ ΜΠΙΛΙΑ ΚΑΙ ΑΥΤΟ ΜΑΣ ΔΙΔΕΙ ΤΗ ΜΙΣΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ, ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ 5. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ ΠΟΥ ΤΙΘΕΤΑΙ ΕΥΛΟΓΑ ΣΥΝΕΠΩΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΕΞΗΣ. ΠΟΣΕΣ ΜΠΙΛΙΕΣ ΤΩΝ 10 ΕΤΕΘΗΣΑΝ ΔΕΞΙΑ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ; ΚΑΠΟΙΟΣ ΘΑ ΠΕΙ 10/2. ΤΟ ΔΕΚΑ ΟΜΩΣ; Η ΜΙΑ ΜΠΙΛΙΑ ΤΩΝ ΔΕΚΑ ΠΟΣΕΣ ΦΟΡΕΣ ΕΝΕΦΑΝΙΣΘΗ; ΓΙΑΤΙ ΕΜΕΙΣ ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΜΙΑ ΦΟΡΑ ΜΙΑ ΜΙΣΗ ΜΠΙΛΙΑ ΚΑΙ ΚΑΜΙΑ ΦΟΡΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΗ. ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΤΟ 5. ΤΗΝ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΔΕΚΑ ΔΕΝ ΣΥΝΑΝΤΟΥΜΕ. ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΔΕΚΑ ΔΕΝ ΤΟΝ ΣΥΝΑΝΤΟΥΜΕ ΠΟΤΕ, ΑΛΛΑ ΤΟΝ ΣΥΝΑΓΟΥΜΕ. ΚΑΙ ΑΝ ΑΥΤΟ ΞΕΝΙΖΕΙ ΚΑΙ ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΑΞΕΝΟ ΑΠΟ ΜΟΝΟ ΤΟΥ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΣΟΒΑΡΟ ΖΗΤΗΜΑ ΑΜΦΙΣΒΗΤΗΣΗΣ ΘΕΤΩ ΤΟ ΕΞΗΣ ΕΡΩΤΗΜΑ. ΠΟΣΕΣ ΦΟΡΕΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΛΑΒΕΙ ΧΩΡΑ ΕΝΑ ΓΕΓΟΝΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΗ; ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΤΙ ΠΟΥ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΚΑΙ ΝΟΕΙΤΑΙ ΩΣ ΜΙΣΗ ΦΟΡΑ; ΕΝΑ ΓΕΓΟΝΟΣ ΕΙΤΕ ΘΑ ΕΠΙΣΥΜΒΕΙ ΕΙΤΕ ΔΕΝ ΘΑ ΕΠΙΣΥΜΒΕΙ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΘΑΝΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ ΜΙΣΗ ΦΟΡΑ; ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΡΘΕΙ ΣΕ ΟΡΓΑΣΜΟ ΜΙΑ ΓΥΝΑΙΚΑ ΜΙΣΗ ΦΟΡΑ; ΚΑΙ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙ Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΘΑ ΘΕΣΩ ΤΗ ΧΕΙΡΑ ΜΟΥ ΠΡΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ ΜΠΙΛΙΑΣ ΤΩΝ ΔΕΚΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΜΙΣΗ ΦΟΡΑ; ΓΙΑΤΙ ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ Η ΟΡΘΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΣΤΕΙ ΚΑΙ ΠΙΟ ΕΥΛΗΠΤΟ ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΥΤΟ. ΑΝ ΣΠΑΣΩ ΤΗ ΜΠΙΛΙΑ ΤΩΝ ΔΕΚΑ ΣΤΗ ΜΕΣΗ ΠΑΛΙ Η ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ ΘΑ ΓΙΝΕΙ ΜΕ ΜΙΑ ΚΙΝΗΣΗ. Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΙ ΤΗ ΦΟΡΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ. ΜΙΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΑΝΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗ ΚΙΝΗΣΗ, ΑΡΑ ΜΙΑ ΑΝΥΠΟΣΤΑΤΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΣΥΝΕΠΩΣ ΝΑΙ ΜΕΝ 10 ΕΠΙ 0,5 ΔΙΔΕΙ ΔΕΚΑ, ΚΑΘΟΤΙ ΤΟ 0,5 ΚΑΙ ΣΑΝ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΝΟΕΙΤΑΙ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑ ΦΟΡΕΣ ΕΙΝΑΙ ΥΠΟΣΤΑΤΕΣ , ΑΛΛΑ ΑΝ ΚΑΙ ΤΟ ΔΕΚΑ ΣΑΝ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΝΟΕΙΤΑΙ Η ΜΙΣΗ ΦΟΡΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΑΥΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΑΝΟΗΤΗ. ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΥ ΕΠΙ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΜΟΥ ΘΕΩΡΗΣΗΣ, ΝΑ ΠΡΟΣΘΕΣΕΙ Ο ΜΙΣΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΤΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΠΙΤΣΑΣ ΠΟΥ ΕΛΑΒΕ ΚΑΤΟΠΙΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΙΤΣΑΣ ΕΙΝΑΙ ΑΝΟΗΤΟ, ΓΙΑΤΙ ΔΕΝ ΝΟΕΙΤΑΙ ΜΙΣΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. ΚΑΤΑ ΤΑ ΛΟΙΠΑ ΙΣΧΥΟΥΝ ΟΣΑ ΑΡΧΙΚΩΣ ΑΝΕΦΕΡΑ ΕΦΑΡΜΟΖΟΜΕΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ.

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ 2 – ΑΝΑΤΡΟΠΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΡΧΗΣ ΑΦΟΡΟΥΣΑ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΟΤΑΝ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΟΣ
ΠΡΩΤΑ ΕΝΤΟΠΙΣΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΒΡΗΚΑ ΛΥΣΗ ΠΟΥ ΝΑ ΜΗΝ ΤΟ ΠΡΟΚΑΛΕΙ. Η ΛΥΣΗ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΔΗΛΑ ΣΩΣΤΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΞΗΣ ΛΟΓΟ. ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΕΜΦΑΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟΝ ΟΤΑΝ ΠΕΦΤΕΙ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΤΗ ΜΟΝΑΔΑ. ΑΡΑ ΕΛΛΕΙΨΕΙ ΑΛΛΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΙΤΙΟΥ Η ΥΠΟΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕ ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΒΑΣΗ ΠΡΟΞΕΝΕΙ ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ. ΑΣ ΠΟΥΜΕ ΤΟ 500 ΔΙΑ 50 ΚΑΙ ΤΟ 50 ΔΙΑ 5 ΕΙΝΑΙ ΟΜΟΤΙΜΑ ΑΡΧΙΚΑ. ΕΠΕΙΔΗ ΤΟ ΑΥΤΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΔΕΚΑ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΠΑΝΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΔΕΚΑ, Ο ΛΟΓΟΣ ΠΟΥ ΟΤΑΝ ΠΕΦΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗ ΜΟΝΑΔΑ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΥΠΟΔΕΚΑΠΛΑΣΙΟ, ΕΙΝΑΙ ΕΠΕΙΔΗ ΑΝ ΚΑΙ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΓΙΑ ΝΑ ΤΡΑΠΕΙ ΑΠΟ 50 ΣΕ 5 ΔΙΑΡΕΙΤΑΙ ΜΕ ΔΕΚΑ ΚΑΙ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΓΙΑ ΝΑ ΤΡΑΠΕΙ ΑΠΟ 5 ΣΕ 0,5 ΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ ΠΑΛΙ ΜΕ ΔΕΚΑ, ΕΝΤΟΥΤΟΙΣ ΛΟΓΩ ΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΣΕ ΕΛΑΣΣΟΝΕΣ ΥΠΟΔΕΚΑΔΙΚΕΣ , ΛΑΜΒΑΝΕΙ ΧΩΡΑ ΣΤΟΝ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΕΝΑΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΟΙΟΝΕΙ ΑΜΟΙΒΑΔΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΑΛΙ ΜΕ ΤΟ ΔΕΚΑ, ΛΟΓΩ ΤΗΣ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΑΠΟ ΤΟ 0,1 ΩΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΣ ΔΥΝΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΙΡΟΝΤΑΣ ΤΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΛΟΓΩ ΤΗΣ ΑΡΣΗΣ ΚΑΤ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΕ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΔΕΚΑ, ΜΕ ΤΕΛΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΟΝΟ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΜΕ ΤΟ ΔΕΚΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΚΟΛΟΥΘΑ ΤΟΝ ΥΠΟΔΕΚΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΔΙΔΟΝΤΑΣ ΤΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΟΞΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΝΑ ΑΝΤΙ ΤΟΥ ΔΕΚΑ, ΩΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΑΞΕΩΣ ΑΥΤΗΣ. ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΕΠΕΙΔΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΔΕΝ ΕΙΧΕ ΛΑΒΕΙ ΕΠΙ ΤΟΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΥΠΟΨΗ ΤΗΣ ΟΤΙ ΕΞΕΘΕΣΑ ΜΟΛΙΣ.
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ 3 – ΕΙΣΑΓΟΥΣΑ ΑΡΧΗ ΠΕΡΙ ΑΞΙΑΣ ΚΑΙ ΣΚΟΠΟΥ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΥ ΤΙΘΕΜΕΝΟΥ ΜΗΔΕΝΙΚΟΥ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ (ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ ΣΥΝΙΣΤΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΝΟΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΥ. Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ ΕΧΕΙ ΗΔΗ ΑΝΑΛΥΘΕΙ)

ΕΝΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ ΑΝΤΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΘΑ ΗΤΑΝ ΠΩΣ ΑΦΟΥ ΤΟ 1 ΔΙΑΣΠΑΣΤΗΚΕ ΣΕ ΔΕΚΑ ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ, ΘΑ ΜΑΣ ΟΔΗΓΟΥΣΕ ΣΕ ΕΝΑ ΑΝΤΙΦΑΤΙΚΟ ΑΤΟΠΟ, ΔΗΛΑΔΗ ΟΤΑΝ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕ ΕΠΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΙ ΤΟ 5 ΜΕ ΤΗ ΜΟΝΑΔΑ, ΝΑ ΜΑΣ ΔΙΔΕΙ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ ΔΥΟ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΠΡΑΞΗ, ΔΗΛΑΔΗ ΔΙΑΙΡΩΝΤΑΣ ΕΙΤΕ ΤΟ 5 ΜΕ ΤΟ 1 ΕΙΤΕ ΤΟ 5 ΜΕ ΤΟ 0,10 ΚΑΤΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΩ ΚΑΙ ΤΡΕΠΟΜΕΝΟΥ ΑΥΤΟΥ ΣΕ 0,1 . ΣΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΧΟΥΝ ΠΡΟΝΟΗΣΕΙ ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΝΤΑ ΚΑΙ Ο ΚΑΘΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΧΕΙ ΑΥΘΥΠΑΡΚΤΟ ΝΟΗΜΑ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΑΓΝΟΗΣΑΜΕ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ. ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΙΝΑΙ ΑΛΛΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑ ΤΟΥΣ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΥΣ ΜΟΥ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥ 5 ΜΕ ΤΟ 1 ΚΑΙ ΑΛΛΗ Η ΠΡΑΞΗ ΤΟΥ 5 ΜΕ ΔΕΚΑ ΥΠΟΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΟΣ. ΠΩΣ ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΤΑΙ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΧΗ; 5 ΔΙΑ 0,10!!! ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΕΧΕΙ ΛΗΦΘΕΙ ΠΡΟΝΟΙΑ ΚΑΙ ΝΟΗΜΑΤΟΔΟΤΕΙΤΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΠΟΥ ΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΟΝ ΑΚΕΡΑΙΟ ΚΑΘΟΤΙ ΕΣΦΑΛΜΕΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΔΕΧΘΕΙ ΕΠΙ ΧΡΟΝΙΑ, ΟΤΙ Η ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΙΚΟΥ ΕΙΝΑΙ ΑΜΕΛΗΤΕΑ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΙΤΑΙ ΝΟΗΜΑΤΟΣ. ΙΣΩΣ ΝΑ ΣΤΕΡΕΙΤΑΙ ΣΤΙΣ ΠΡΟΣΘΕΣΕΙΣ, ΑΛΛΑ ΑΠΟ ΟΤΙ ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΕΙΝΑΙ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΑΠΟΦΑΣΙΣΤΙΚΗΣ ΣΗΜΑΣΙΑΣ ΟΤΑΝ ΤΙΘΕΤΑΙ – ΠΡΟΣΤΙΘΕΤΑΙ ΚΑΙ ΔΕΝ ΑΠΑΛΕΙΦΕΤΑΙ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. ΜΑΛΙΣΤΑ ΘΑ ΤΟΛΜΟΥΣΑ ΝΑ ΠΩ ΟΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΦΑΣΙΣΤΙΚΗΣ ΣΗΜΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΔΗΛΩΤΙΚΗ ΤΗΣ ΔΙΗΝΕΚΟΥΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΟΥ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΡΟΕΞΕΧΟΥΣΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΚΑΤΑ ΤΑ ΟΣΑ ΕΧΩ ΗΔΗ ΑΝΑΦΕΡΕΙ , ΟΤΑΝ ΤΙΘΕΤΑΙ ΣΤΟΝ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ. ΑΛΛΩΣΤΕ ΑΝ ΔΕΝ ΕΙΧΕ ΣΗΜΑΣΙΑ ΘΑ ΕΞΕΛΙΠΕ ΚΑΙ Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΘΗΡΙΚΑ ΚΑΙ ΤΕΛΟΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΝΑ ΠΟΥ ΕΧΕΙ... ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ 0,10 ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟΥ 0,1 ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟΥ 1 !!! 5 ΔΙΑ 0,10 ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 0,5 ΠΑΡΕΜΠΙΠΤΟΝΤΩΣ. Ο ΛΟΓΟΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟ 0,10 ΑΠΟ ΤΟ 1 ΕΙΝΑΙ ΣΑΦΗΣ, ΚΑΘΩΣ ΤΟ 0,10 ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΟΥ ΑΝΑΠΑΡΙΣΤΑ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΩΣ ΔΗΛΩΤΙΚΟΣ ΑΥΘΥΠΑΡΚΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΕΝΩ ΑΝ ΛΟΓΙΣΤΟΥΝ ΩΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΗΛΩΤΙΚΩΝ ΟΜΩΣ ΩΣ ΠΟΣΟΤΗΤΩΝ ΥΛΗΣ ΣΥΜΒΟΛΙΖΕΤΑΙ ΩΣ ΕΝΑ. ΕΙΝΑΙ ΔΙΤΤΗ ΔΗΛΑΔΗ ΚΑΙ ΗΔΗ ΓΝΩΣΤΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Η ΧΡΗΣΗ – ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ, ΚΑΘΩΣ Ο ΙΔΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΛΛΟΤΕ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΖΕΙ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΛΛΟΤΕ ΤΟ ΑΠΡΟΣΘΕΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΑΥΘΥΠΑΡΚΤΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ.
ΚΑΤΑΛΗΚΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (Η ΑΡΧΙΚΗ ΙΔΕΑ ΕΠΑΝΕΠΕΞΕΡΓΑΖΟΤΑΝ ΔΙΑΡΚΩΣ ΚΑΘΩΣ ΕΘΕΤΑ ΑΝΤΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΕΑΥΤΟ ΜΟΥ ΠΡΟΚΕΙΜΕΝΟΥ ΝΑ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΩ ΤΟΥ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΥ ΜΟΥ ΤΟ ΑΛΗΘΕΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΥΛΛΑΜΒΑΝΟΤΑΝ ΥΠΟ ΕΜΟΥ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΤΑΔΙΑ. ΟΔΕΥΟΝΤΑΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΩΙΜΟ ΣΤΑΔΙΟ ΣΤΟ ΤΕΛΙΚΟ ΜΕΣΑ ΣΤΟ ΜΥΑΛΟ ΜΟΥ ΑΝΤΙΛΑΜΒΑΝΟΜΟΥΝ ΔΙΑΡΚΩΣ ΚΑΛΥΤΕΡΑ ΤΙ ΕΙΧΑ ΣΥΛΛΑΒΕΙ ΑΡΧΙΚΑ, ΩΣΤΕ ΝΑ ΤΟ ΑΠΟΔΩΣΩ ΕΙ ΔΥΝΑΤΟΝ ΕΥΛΗΠΤΟ)
ΠΙΘΑΝΟ ΤΕΛΙΚΟ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΠΟΡΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΟΥ ΑΝΤΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΘΑ ΗΤΑΝ ΠΩΣ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ 0,5 ΕΙΝΑΙ ΔΗΛΩΤΙΚΟΣ ΜΙΣΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ. ΑΝ ΚΑΙ ΕΝΑΝΤΙΑ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΚΑΙ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΩΣ ΑΔΙΑΙΡΕΤΗΣ, ΤΗΣ ΛΕΓΟΜΕΝΗΣ ΑΚΕΡΑΙΗΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑΣ. ΔΕΝ ΑΝΑΦΕΡΟΜΑΙ ΠΛΕΟΝ ΣΤΗΝ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ΜΟΝΑΔΑ , ΑΛΛΑ ΛΑΜΒΑΝΩ ΑΡΧΙΚΑ ΥΠΟΨΗ ΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟ ΤΩΝ ΑΝΤΙΦΡΟΝΟΥΝΤΩΝ ΜΙΑ ΠΑΡΑΔΟΧΗ ΚΑΤ ΕΜΕ ΠΑΡΑΛΟΓΗ, ΔΗΛΑΔΗ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΜΙΣΗΣ ΜΟΝΑΔΟΣ. ΑΝ ΘΕΩΡΗΣΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ ΟΤΙ ΤΟ 0,5 ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΜΙΣΗ ΜΟΝΑΔΑ ΚΑΙ ΟΧΙ 5 ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΑΝ ΘΕΤΑΜΕ ΩΣ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΤΟ 5 ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΛΟΓΙΚΗ ΑΥΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΩΣ ΔΕΝ ΘΑ ΕΠΡΕΠΕ ΝΑ ΛΟΓΙΖΟΝΤΑΝ ΩΣ 5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΑΛΛΑ ΩΣ ΜΙΑ, ΠΡΑΜΑ ΠΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΔΕΝ ΣΤΕΚΕΙ. ΑΛΛΩΣΤΕ ΟΤΑΝ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕ ΤΟ 5 ΜΕ ΤΟ 5 ΜΑΣ ΔΙΔΕΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΝΑ ΚΑΙ ΟΧΙ 5. ΕΔΩ ΛΟΙΠΟΝ ΕΜΦΑΙΝΕΤΑΙ ΚΑΙ Η ΑΞΙΑ ΚΑΙ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ, ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΓΙΝΟΤΑΝ ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΟΝ ΚΟΚΚΟ ΚΑΙ ΣΤΟ ΣΩΡΟ. ΠΟΤΕ ΛΟΙΠΟΝ ΜΙΑ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΙΣΤΑ ΚΟΚΚΟ ΚΑΙ ΠΟΤΕ ΣΩΡΟ. ΑΝ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ 5 ΛΟΓΙΣΤΕΙ ΩΣ ΜΙΑ ΜΟΝΑΔΑ ΚΑΙ ΑΚΟΛΟΥΘΩΣ ΤΟ 0,5 ΩΣ ΜΙΣΗ, ΟΙ 5 ΚΟΚΚΟΙ ΣΕ ΑΜΦΟΤΕΡΕΣ ΤΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΤΗ ΜΟΝΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΣΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΑΥΤΩΝ, ΘΑ ΛΟΓΙΣΤΟΥΝ ΑΥΘΑΙΡΕΤΑ ΣΑΝ ΕΝΑΣ ΣΩΡΟΣ. ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΣΚΟΠΟΥΣ ΟΜΩΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΕΩΣ Ο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ ΠΑΝΤΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΧΕΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑ ΣΥΝΟΛΟΥ ΚΟΚΚΩΝ ΔΙΑΤΗΡΟΥΝΤΩΝ ΤΗΝ ΑΥΤΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΟΧΙ ΥΠΑΓΟΜΕΝΟΥΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ ΠΟΥ ΤΟΥΣ ΚΑΘΙΣΤΑ ΣΩΡΟ. Ο ΕΠΑΝΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΟΚΚΟΥ, ΑΛΛΩΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΠΟΣΟΤΙΚΑ ΔΕΝ ΑΝΑΙΡΕΙ ΤΗ ΦΥΣΗ ΟΥΤΕ ΤΗΣ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΑΣ ΤΗΣ, ΟΥΤΕ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΚΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ.

Συνεχίζοντας τις σκέψεις μου μιας και οι σκέψεις ενθαρρύνονται συχνά από διάφορους συνειρμούς κατέληξα σε ενδιαφέροντα συμπεράσματα τα οποία και καταγράφω τη δεδομένη στιγμή. (Δεν πίστευα αρχικά πως είχα να σκεφτώ κάτι περισσότερο διαψεύδοντας στη συνέχεια τον εαυτό μου. Μάλιστα η επιγενόμενη παρούσα ανάλυση εξηγεί το πως ακριβώς προκύπτει το παράδοξο.)Τέμνω μία πίτα σε 3 κομμάτια. Απαιτούνται δύο τομές. Τέμνω μία πίτα σε δύο κομμάτια. Απαιτείται μία τομή. «Τέμνω» μία πίτα σε ένα κομμάτι. Δεν απαιτείται καμμία τομή. Εισάγω και λίγη γεωμετρία προς επίρρωση δηλαδή. Αν αποπειραθώ να τεμώ μία πίτα σε μισό κομμάτι κατ’ ακολουθίαν απαιτείται να προβώ σε τομές ήσσονες του μηδενός, πράμα κατ’ εμέ ανέφικτο – αδύνατο. Εν συνεχεία διερωτήθηκα για το αυτό παράδειγμα αν οι αναλογούσες αρχές για παρονομαστή ήσσονα της μονάδος εφαρμόζονται και για παρονομαστή κατά μέρος μείζονα της μονάδος (με την έννοια της διακριτότητάς της υποστάσεως και όχι της ποσοτικής) και κατά μέρος ήσσονα , δηλαδή για δεκαδικούς αριθμούς μεγαλύτερους της ποσότητας του ενός. Πήρα λοιπόν για παράδειγμα το 5 δια 2,5 και για να βεβαιώσω την ευστάθεια του αποτελέσματος των συμβατικών μαθηματικών εφήρμοσα το σύστημα τομών της πίτας που προανέφερα. Με μία λοιπόν τομή λαμβάνω 2 κομμάτια ενώ με δύο τομές 3 και 4 αν τυχόν δεν μου διαφεύγει κάτι. 2,5 κομμάτια ομοίως είναι αδύνατο να ληφθούν και ακόμη και κάποιος να επικαλούταν ότι τέμνοντας την πίτα σε 3 κομμάτια εκ των οποίων το ένα να ήταν ήσσον έναντι των λοιπών δύο, δηλαδή με μία εσφαλμένη ποσοτική και μόνον οπτική των αριθμών , πάλι το αποτέλεσμα δεν θα οδηγούσε στον ορθό ομότιμο και ίσο ποσοτικό διαμοιρασμό των κομματιών, δηλαδή κατά ποσότητα δύο. Τούτο εύλογα και αβίαστα με ωθεί στο ότι για τη διαπίστωση του αληθούς ακριβούς αποτελέσματός πρέπει να καταφύγω στην εφαρμογή των αυτών αρχών και εκ του 2,5 οι μεν δύο μονάδες να λογιστούν ως έχουν και η δε μισή να λογιστεί ως 5, ήτοι σωρευτικά αριθμουμένων ως 7 με τελικό αποτέλεσμα περίπου 0,7.
Η σκέψη αυτή λοιπόν με οδήγησε παρεπόμενα σε άλλες σκέψεις. Σκέφτηκα ακολούθως ότι το συμβατικό αποτέλεσμα 2 δεν υπερβαίνει το 5 ως στο αρχικό παράδειγμα της διαίρεσης του 5 με το 0,5 και άρχισα να διερωτώμαι περί της διαφοροποιήσεως αυτής. Παρατήρησα ότι για την πρόκληση του παραδόξου απαιτούταν τουλάχιστον το πραγματικό 5 στον παρονομαστή να λογιστεί τουλάχιστον συμβατικά εσφαλμένα ως δέκα φορές ήσσον, ενώ ακολούθως με παρονομαστή 0,05 100 φορές. Στο προκείμενο παράδειγμα είδα ότι η διαφορά του 2,5 από το 7 είναι λίγο λιγότερη από 3 φορές και εφήρμοσα και άλλα παραδείγματα μη δυνάμενος να επιτύχω ανάλογη διαφορά με την απαιτούμενη για την πρόκληση του παραδόξου, θεωρώντας ότι η μισή μονάδα εντός της σχέσης 2,5 δεν μπορεί να προκαλέσει τη δέουσα διαφορά λόγω της συμμετοχής της με τις λοιπές δύο μονάδες. Αίφνης λοιπόν απεφάσισα να μεγιστοποιήσω τη συμβολή της μισής μονάδος αδόκιμα αλλά και συγκαταβατικά λεχθέντος στο συνολικό αποτέλεσμα μεγαλοποιώντας τη σμίκρυνση του παρονομαστή οπότε άρχισα και να προσθέτω μηδενικά στο 2,5 τρεπόμενου σε 2,05 και ούτω καθεξής και διαιρώντας με τον αριθμητή 5 φυσικά πάντα. Θεωρητικώς εφαρμοζόμενης της αρχής της αντίστροφης αναλογίας η διαρκής ελάττωση του παρονομαστή θα έπρεπε να οδηγεί στη μεγιστοποίηση του αποτελέσματος και πράγματι αυτό φαίνεται να διογκώνεται διαρκώς τοιουτρόπως τείνοντας από το 2 προς το 2,5, χωρίς όμως όσα μηδενικά και να προσέθετα να μπορούσε να υπερβεί το 2,5. Κάθε φορά που προσέθετα και ένα μηδενικό ο προκύπτων αριθμός αυξανόταν , αλλά .... η προσάυξηση αυτή ήταν τόσο απειροελάχιστη και κάθε φορά ελάσσονα ενώ αντιστοίχως στο 5 δια 0,5 και εν συνεχεία στο 5 δια 0,05 και ούτως καθεξής ο αριθμός δεκαπλασιάζεται κάθε φορά που προστίθεται ένα μηδενικό. Αντιθέτως ο αριθμός που προστίθεται κάθε φορά στη σχέση μικραίνει. Αυτό με οδήγησε στο συμπέρασμα πως το αποτέλεσμα της πράξης 5 δια 2 έθεσε ένα όριο στην τάση πρόσθεσης του μηδενικού στο παράδειγμα που έθεσα (ακόμη και άλλα παραδείγματα να θέσω οριακά το τελικό όριο το θέτει το 2), το οποίο όριο ισούται με 2,5. Ακριβώς επειδή ότι τεθεί μετά το δεκαδικό έχει σαν ακραίο όριο το μηδέν ως δυνάμενου να τεθεί μετά το δύο, άρα τιθέμενου ως ορίου του δύο. Τούτο μάλλον δεν συμβαίνει όταν ο παρονομαστής πέφτει κάτω από το ένα γιατί δεν μπορεί να τεθεί σαν ακραίο όριο το μηδέν, ως πράξη που δεν φέρει αποτέλεσμα, ως πράξη που δεν νοείται. Εκλίποντος του ορίου αυτού το αποτέλεσμα μπορεί να αυξάνεται διαρκώς και μάλιστα σε βαθμό που να προκαλεί παράδοξα αποτελέσματα.
Προς επίρρωση όλων όσων υποστηρίζω η όλη προβληματική προκύπτει ανάλογα με το που θέτει το όριο ο καθείς. Είναι προβληματικό και οδηγεί σε όλα τα παράλογα αποτελέσματα που προπεριέγραψα να τίθεται ως όριο το μηδέν , δηλαδή να τίθεται ως όριο κάτι μη νοούμενο ως δυνατό αντί του ενός, της μονάδος δηλαδή της ελάχιστης δυνατής νοούμενης αριθμητικής υποστάσεως όχι μόνο αναγκαίως ως τιθέμενη ως διαιρέτης λόγω διακριτότητας υποστάσεώς της, αλλά και ως της ελάχιστης νοούμενης ποσότητας. Άλλωστε σε έναν αριθμητικό άξονα τα μετρήσιμα μεγέθη εντός της κλίμακας επί παραδείγματι ένα προς δύο δεν διαφοροποιούνται από την κλίμακα ένα προς μηδέν και συνεπώς είναι αδικαιολόγητη η οιαδήποτε προκύπτουσα διαφορά. Περί τούτου λοιπόν προγενέστερα συστήματα αριθμήσεως ξεκινούσαν την αρίθμηση από τον αριθμό ένα και όχι από τον αριθμό μηδέν. Συνεπώς πράγματι η όλη σκέψη μου ήταν προσανατολισμένη εξ αρχής προς τη σωστή κατεύθυνση από όποια σκοπιά και να εξεταστεί.

[Spiros252]

Τα μαθηματικά δεν είναι απαραίτητο να συμφωνούν πλήρως και σε πολλές περιπτώσεις περιορίζονται από τη φυσική πραγματικότητα.

Γνωρίζουμε ότι στη φύση δεν γίνεται να διαιρείς επ άπειρον. Στα μαθηματικά όμως μπορείς καθώς είναι αφηρημένες έννοιες και ατέρμονες χωρίς περιορισμό διαδικασίες.

Επίσης, είναι και θέμα πώς ορίζεις κάθε φορά τα δεδομένα. Δεν μπορεί να οριστεί μισός άνθρωπος φυσικά, αλλά μπορεί να οριστεί μισό πορτοκάλι. Στην προκειμένη περίπτωση παίρνεις ως δεδομένο ότι θα μοιράσεις την πίτσα σε μισό άνθρωπο. Το κλάσμα 5/0,5 όμως μπορεί να σημαίνει κάλλιστα ότι έχω χωρίσει μια πίτσα - που με κάποια σύμβαση έχει 5 κομμάτια - στα μισά τους και από αυτά τρώω / παίρνω τα 5 ολόκληρα ή αλλιώς 10 μισά.

Ένα άλλο παράδειγμα φυσικής πραγματικότητας που είχα χρησιμοποιήσει παλιότερα σε άλλο παράδειγμα μαθηματικών:

Ερώτημα:
Πόσα λαμπάκια φωτεινότητας 1 χρειάζονται ώστε να επιτύχουμε ολική φωτεινότητα 5;
Η απάντηση προφανώς είναι 5.

Αν όμως μειώσουμε την ένταση του ρεύματος στο μισό, τότε κάθε λαμπάκι θα αποδίδει 0,5 φωτεινότητα, επομένως θα χρειάζονται 10 λαμπάκια προκειμένου να επιτύχουμε φωτεινότητα 5.

[pankratisths]

Αρχικά δεν είμαι βέβαιος αν στη φύση μπορείς να διαιρείς επ' άπειρον ή μη. Επίσης πρέπει να δούμε την ιστορική εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης. Στο σύστημα αριθμητικής μετρήσεως των αρχαίων Ελλήνων δεν υπήρχαν δεκαδικοί αριθμοί νομίζω και συνεπώς σύμφωνα με τα τότε μαθηματικά ο αριθμός ένα ήταν αδιαίρετος. Δεύτερον οράτε επαλήθευση υπ' αριθμόν 1 σχετικά με την μη σε θέση σε ισχύ κατ΄εξαίρεση της αντιμεταθετικής ιδιότητας. Με την άποψή μου στην επαλήθευση υπ ' αριθμόν 1 μόλις εχθές διαπίστωσα ότι συμφωνεί Έλληνας καθηγητής φιλοσοφίας στο πανεπιστήμιο της Βόννης παρεμπιπτόντως. Η όλη προβληματική περιστρέφεται αν αναγνώσετε πιο προσεκτικά γύρω από τη διττή οπτική των αριθμών, οι οποίοι άλλοτε λογίζονται ως ποσότητες και άλλοτε ως αυθύπαρκτες μονάδες (πυθαγόρεια μονάδα). Ωφέλιμο θα ήταν για εμένα να αναγράφεται και η επιστημονική ιδιότητα εκάστου σχολιαστή εφόσον φυσικά υπάρχει. Εγώ πάντως δεν είμαι θετικός επιστήμονας.

[EKPLIKTIKOS]

ΣΥΜΦΩΝΑ ΛΟΙΠΟΝ ΜΕ ΤΑ ΣΥΜΒΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΤΑΝ Ο ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 0,5 ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΙΝΑΙ 10. ΔΗΛΑΔΗ ΕΠΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΜΙΑ ΠΙΤΣΑ 5 ΚΟΜΜΑΤΙΩΝ, ΤΗ ΜΟΙΡΑΖΟΥΜΕ ΣΕ ΜΙΣΟ ΑΤΟΜΟ ΚΑΙ ΤΟ ΜΙΣΟ ΑΤΟΜΟ ΛΑΜΒΑΝΕΙ 10 ΚΟΜΜΑΤΙΑ;!!!

Ένας τρόπος να δεις το πρόβλημα πιο πρακτικά είναι να πετάξεις στα σκουπίδια τη διαίρεση, αφού δεν τη συμπαθείς έτσι κ αλλιώς, και να ορίσεις το πρόβλημα σαν προβλημα πολλαπλασιασμου αντί για διαίρεσης, που στην προκειμένη περίπτωση είναι βασικά το ίδιο πράγμα, απλά κάνεις frame διαφορετικά το πρόβλημα.

Τι μας λέει το 5/5 = χ; ότι πρέπει να βρούμε με ποιον αριθμό θα πολλαπλασιασουμε το 5 για να καταλήξουμε στο 5. Αυτό είναι το 1. 5/1 = χ; Χμμμ, 1x5 = 5, το βρήκαμε κι αυτό. 5/½ = χ; Με ποιον αριθμό θα πολλαπλασιασουμε το 1/2 για να βγάλουμε 5; Με το 10 φυσικά. Αφού το μισό του 10 είναι 5, αν πάρουμε 10 μισά κομμάτια μας κάνει 5 ολόκληρα κομμάτια. Άρα, αν είχαμε 10 κομμάτια πίτσας, σε πόσους ανθρώπους θα αντιστοιχούσαν; Σε μισό, γιατί ένας ολόκληρος άνθρωπος δε θα χορτάσει με μισό κομμάτι πίτσας.

[pankratisths]

Επαλήθευση υπ αριθμόν 1 δες προσεκτικά

[nick]

Τελικα ποσο κανει 5/0.5, παραπάνω απο 10 ή λιγότερο;

Μήπως εισαι ο τύπος που έλεγε οτι το πυθαγόρειο θεώρημα δεν ισχύει;

[pankratisths]

Επίσης το 10 είναι η ποσότητα ύλης ανά άτομο, ούτε ανά μισό ούτε ανά ένα άτομο κατ ακριβολογια. Ο αριθμός των κομματιών τίθεται στον παρονομαστή. Ο αριθμητης είναι η διαιρετεα ύλη. Κάπως αστοχα έγραψα ότι είναι πίτσα 5 κομματιών πριν τη διαίρεση για να καταστεί εύληπτο το παράδειγμα. Ας πούμε οτι είναι πίτσα 5 μέτρων ή πίτσα 5 κιλών.

[pankratisths]

Κατά την κρίση μου ισούται με 1. Δεν έχω ασχοληθεί με το πυθαγόρειο ποτέ.

[nyxtovios]

Τα μαθηματικά ορίζονται με ότι κανόνες θες.
Αν θες κάνε δικά σου που 5/0.5 = 3
Απλά πρέπει να ακολουθείς τους κανόνες που θέσπισες.

[pankratisths]

Θεωρώ ότι τα μαθηματικά δεν είχαν σταθερούς κανόνες διαχρονικά , αφού ως εξηγω στο τέλος της ανάλυσης ο προκυπτων κατ εμέ παραλογισμός πηγάζει από την εισαγωγή του μηδενος στο σύστημα αριθμήσεως, ενώ και οι αρχαίοι έλληνες διαιρουσαν όχι όμως με δεκαδικούς και με έναρξη αρίθμησης το 1.

[nick]

Κατά την κρίση μου ισούται με 1. Δεν έχω ασχοληθεί με το πυθαγόρειο ποτέ.

Και που να προσπαθούσαν να σου εξηγήσουν μιγαδικούς i*i=-1

[pankratisths]

Είτε μοιρασεις σε 5 γίγαντες είτε σε 5 νάνους το ίδιο και το αυτό. Τα μαθηματικά και το σύστημα αριθμήσεως μεταβλήθηκαν Οπότε εξαιτίας της μεταβολής αυτής προέκυψε και ένα παράλογο αποτέλεσμα. Και οι αρχαίοι έλληνες έκαναν διαίρεση αλλα δεν χρησιμοποιούσαν δεκαδικούς , ενώ το σύστημα αριθμήσεως ξεκινούσε απο το 1 και όχι από το 0 όπως αργότερα με τους ινδούς. Αυτό προκάλεσε και το κατ εμέ παράδοξο αποτέλεσμα για τους λόγους που αναφέρω στην ανάλυση μου.

[pankratisths]

Επειδή αργούν να αναρτηθούν οι απαντήσεις μου απλούστερα να αναγνωσετε προσεκτικά ότι αναγραφω και αν αναγνωσετε προσεκτικά και καταλάβετε εις βάθος τι γράφω και διαφωνειτε ας συμφωνήσουμε στο ότι διαφωνουμε.

[pankratisths]

Εγώ θέλω ο κύριος που γνωρίζει από μιγαδικούς να μου εξηγήσει κάτι απλούστερο. Αν έχουμε μία ποσότητα υλης που θέλουμε να μοιράσουμε σε δύο άτομα, 1 δια 2 δηλαδή , νομίζω ότι απαιτείται μία τομή. Αν έχουμε παρονομαστή 1 απαιτείται τομή ίση αριθμητικά με μηδέν. Αν λοιπόν θέσουμε ως παρονομαστή το 0,5 πόσες τομές απαιτούνται;

[George_V]

Επειδή αργούν να αναρτηθούν οι απαντήσεις μου απλούστερα να αναγνωσετε προσεκτικά ότι αναγραφω και αν αναγνωσετε προσεκτικά και καταλάβετε εις βάθος τι γράφω και διαφωνειτε ας συμφωνήσουμε στο ότι διαφωνουμε.

Α ούτε καν θα το συζητήσουμε δλδ.

Το χεις δεμένο από την αρχή ότι θα συμφωνησουμε στη διαφωνία άνευ άλλης συζητήσεως.