Μαθηματικό παράδοξο

[wooded glade]

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = tanx στο διάστημα 0 ≤ χ ≤ π/2, η δε μεταβλητή χ είναι μία τυχαία μεταβλητή στο διάστημα ορισμού της f(x), ήτοι pdf(x) = 2/π.
Η μέση τιμή της f(x) είναι άπειρον, διότι το ολοκλήρωμα pdf . f στο [0, π/2] απειρίζεται.

Αν όμως κάνω ένα random number test στο computer με μέγεθος δείγματος 1,000,000 δεν βγαίνει άπειρο.
Όσες φορές και να πατήσω για να βγει δειγματοληπτικά μία τιμή για το <f(x)> βγάζει νούμερα από 7 μέχρι 20 το πολύ. Πως είναι άπειρον ;

[stavmanr]

Το άπειρο είναι κομμουνιστικό. Μην το εμπιστεύεσαι.

[τραμπιστής]

Δεν παίρνεις την τιμή άπειρο για τον ίδιο λόγο που αν προσομοίωνες μια τυχαία μεταβλητή με πεπερασμένη μέση τιμή, πάλι δε θα έπαιρνες ακριβώς τη σωστή τιμή. Από τη στιγμή που το δείγμα σου είναι πεπερασμένο, δε θα δεις ποτέ την τιμή άπειρο, αυτό που θα παρατηρήσεις όμως είναι ότι όσο αυξάνεις το μέγεθος του δείγματος, τόσο οι μέσες σου τιμές θα τείνουν να αυξάνουν (και θα ανεβαίνουν πολύ πιο πάνω από το 20 προφανώς).

Ίσως να είναι καλύτερα να το δεις σαν "το ολοκλήρωμα αποκλίνει" παρά ότι ισούται με +άπειρο. Αυτό ουσιαστικά το επιβεβαιώνουν και οι προσομοιώσεις σου, καθώς ο δειγματικός μέσος που λαμβάνεις μετά από κάθε σετ 10^6 προσομοιώσεων παίζει αρκετά, επομένως δε δείχνει να συγκλίνει σε κάποια πεπερασμένη τιμή. Αν σε απασχολεί το σχετικά μικρό έυρος τιμών, αντί για την tanx μπορείς να δοκιμάσεις κάποια του στυλ tanx ^ 20 η οποία "σκάει" γρηγορότερα.