Gabriel's paradox νέο

[wooded glade]

Έχουμε μία σφαίρα ακτίνος 1. Από πάνω της βάζουμε μία άλλη σφαίρα ακτίνος 1/ √2. Από πάνω άλλη ακτίνος 1 / √3 και ούτω καθ' εξής επ' άπειρον.
Αν λοιπόν πάμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των υψών στο άπειρο βγαίνει ότι αποκλίνει:

H = Σ 2 . 1/√n = αποκλίνει

Αν πάμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των επιφανειών πάλι αποκλίνει:

S = 4 . π . Σ 1/n = αποκλίνει

Αν πάμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των όγκων συγκλίνει:

V = (4/3).π.Σ(1/n^(3/2)) = 10.94 περίπου

Το παράδοξο είναι ότι δεν μπορούμε λέει να βάψουμε όλες τις σφαίρες μπλε - αφού είναι άπειρη η επιφάνεια.
Μπορούμε όμως να τις γεμίσουμε όλες με μπογιά - 10.94 μονάδες όγκου θέλουμε.

Πως γίνεται αυτό όμως ;
Αν τις γεμίσουμε και μετά τις αδειάσουμε και μετά επειδή η μπογιά κολλάει λίγο και θα μείνει το επιφανειακό στρώμα, δεν θα είναι όλες -μέχρι το άπειρον- μπλε ;

Υπάρχει λύση σ' αυτό το παράδοξο ;

Δοκίμασα εγώ το εξής:
Αντί για επιφάνεια θεωρώ ένα λεπτό κέλυφος σφαίρας με εσωτερική ακτίνα (1-ε)/√n και εξωτερική 1/√n, όπου ε < 1
Βγαίνει για το σύνολο των κελυφών:

Όγκος ~ 3.ε.V για μικρό ε, όπου V είναι η τιμή 10.94 που ανέφερα προηγουμένως.
Άρα με αυτή την οπτική γωνία θέλουμε 0 όγκο μπογιάς όταν ε τείνει στο μηδέν ;

Τι παίζει ;
Τι κάνουμε για να μην είναι παράδοξο ;

[nick]

Χωρίς να δω τα νούμερα και τους τύπους νομίζω οτι ειναι απλο πρόβλημα επιφανειας vs ογκου.

Π.χ. αν γεμίσεις μια σφαίρα 5 μικρότερες τοτε αυτες εχουν στο συνολο καποια επιφανεια.
Αν βαλεις ομως μικροτερες σφαιρες (π.χ.100) τοτε η επιφάνεια τους ειναι μεγαλυτερη.
Ετσι μπορεις να αυξήσεις την επιφάνεια απεριόριστα βαζοντας απειρες μικροσκοπικές σφαίρες.

Ο ογκος απο την αλλη δεν μπορει να ξεπεράσει αυτον της αρχικής σφαίρας (αλλιώς δεν θα χώραγαν).

Το παράδοξο είναι ότι δεν μπορούμε λέει να βάψουμε όλες τις σφαίρες μπλε - αφού είναι άπειρη η επιφάνεια.

Βεβαίως και μπορείς. Η μπογιά δεν ξοδεύεται εφόσον θεωρουμε οτι εχει παχος που τείνει στο 0 για μικροσκοπικές σφαιρες. Αλλιως η μπογια θα μεγαλωνε την ακτινα της σφαιρας.

[wooded glade]

Χωρίς να δω τα νούμερα και τους τύπους νομίζω οτι ειναι απλο πρόβλημα επιφανειας vs ογκου.

Π.χ. αν γεμίσεις μια σφαίρα 5 μικρότερες τοτε αυτες εχουν στο συνολο καποια επιφανεια.
Αν βαλεις ομως μικροτερες σφαιρες (π.χ.100) τοτε η επιφάνεια τους ειναι μεγαλυτερη.
Ετσι μπορεις να αυξήσεις την επιφάνεια απεριόριστα βαζοντας απειρες μικροσκοπικές σφαίρες.

Ο ογκος απο την αλλη δεν μπορει να ξεπεράσει αυτον της αρχικής σφαίρας (αλλιώς δεν θα χώραγαν).

Η μία είναι πάνω στην άλλη, όχι η μία μέσα στην άλλη.
Αλλά το ίδιο κάνει.
Ο όγκος μπογιάς που χρειάζεται για να βάψεις την επιφάνεια τείνει λοιπόν στο μηδέν άρα δεν πειράζει που είναι άπειρη η επιφάνεια.

[Ζενίθεδρος]

Αλλάζεις κάπως τις συνθήκες σε σχέση με το παλιό, αλλά και πάλι καταλήγεις στο ότι από κάποιο σημείο και μετά, τα μόρια της μπογιάς θα είναι μεγαλύτερα από τις επιστοιβαζόμενες σφαίρες.

[hellegennes]

Το πρόβλημά σου είναι ότι προσπαθείς να εφαρμόσεις μαθηματικές έννοιες στον αληθινό κόσμο. Στον αληθινό κόσμο δεν υπάρχουν άπειρες σφαίρες, δεν υπάρχουν δισδιάστατες μπογιές.

Αν υποθέσεις ότι η μπογιά είναι δισδιάστατη, όπως η επιφάνεια της σφαίρας, ξοδεύεις 0 κυβικά μπογιάς για να βάψεις τις σφαίρες, οπότε χρειάζεσαι άπειρη δισδιάστατη μπογιά για να τις βάψεις (κανένα πρόβλημα) και πεπερασμένη τρισδιάστατη μπογιά να τις γεμίσεις (επίσης κανένα πρόβλημα). Είναι δυο διαφορετικά πράγματα από τα οποία το ένα είναι άπειρο και το άλλο όχι, δεν είναι πως έχεις το ίδιο πράγμα που είναι άπειρο στην μια περίπτωση και πεπερασμένο στην άλλην.

Αν τις αδειάσεις, θα είναι βαμμένες από μέσα, ναι, αλλά με τρισδιάστατη μπογιά πεπερασμένου πάχους, δηλαδή θα έχεις μια σειρά κελυφών, που είναι συγκλίνουσα σειρά όγκου. Οπότε δεν έχεις παράδοξο. Το παράδοξο είναι ότι προσπαθείς να μεταφράσεις κάτι που έχει όγκο (μπογιά) σε μια μαθηματική έννοια επιφάνειας, δηλαδή σε κάτι που δεν έχει όγκο.

Στην πραγματικότητα, αν θέλεις να δεις πόση μπογιά θες για να τις βάψεις επιφανειακά, πρέπει να χρησιμοποιήσεις τον τύπο για κέλυφος με ό,τι πάχος θες. Πες και 10^-24 μέτρα. Πες και 1 εκατοστό αν θες. Σημασία έχει ότι στο τέλος θα χρειαστείς μια πεπερασμένη ποσότητα για να τις βάψεις.