Μαθηματικοί Γρίφοι

[Nero]

περαστικός ήμουν απο το νήμα, sorry, συνεχίστε

[Ελβετός Τραπεζίτης]

Αποδείξτε ότι το 8 διαιρεί το ν²-1, όπου ν περιττός θετικός ακέραιος.

ν²-1 = (ν-1)(ν+1)
8=3²-1=(3-1)(3+1)



Να αποδείχθει οτι (ν²-1)/8 = ακέραιο πολλαπλάσιο του 8 εαν ν=1,3,5,7 κ.ο.κ



Εαν ν=1 ==> (ν²-1)/8 = 0/8=0

εαν ν=3 ==> (ν²-1)/8=(3-1)(3+1)/(3-1)(3+1) = 1

εαν ν=5 ==> (ν²-1)/8=24/3= 3

εαν ν=7 ==> (ν²-1)/8 = 48/8 =6

εαν ν=9 ==> (ν²-1)/8=10

εαν ν=11 ==> (ν²-1)/8=120/8=15

εαν ν=13 ==> (ν²-1)/8=168/8=21

εαν ν=15 ==> (ν²-1)/8=224/8=28
Αρα εμπειρικά αποδεικνύεται, αλλ΄απαραμένει η απορία εαν ισχύει σε όλο το φάσμα των αριθμων ή εαν απο κάποιο αριθμό και μετα σταματάει να ισχύει η σχέση.

ν: 1 3 5 7 9 11 13 ...
(ν2-1)/8: 0 1 3 6 10 15 21 ...

Κατόπιν προσπάθησα να συσχετίσω τα παραπάνω αποτελέσματα για να βρω την λύση σε σχέση με το "ν" αλλά δεν βρηκα άκρη.


Κατόπιν άρχισα να το δουλεύω θεωρητικά

Εξ ορισμού περιττός αριθμός ειναι ν=2κ+1, όπου κ= 0,1,2,3... άρα ν=1,3, 5, 7 ...

οπότε (ν²-1)=[(2κ+1)+1]χ[(2κ+1)-1]=(2κ+2)χ(2κ)= 4κ²+4κ=4κ(κ+1) (Τυπος Α )

Το γινόμενο κ(κ+1) ειναι πάντα άρτιος (ζυγός) αριθμός (το γινόμενο άρτιου επί περιττού αριθμού ειναι πάντα άρτιος)

Οταν φτανω σε αυτο το σημείο, μετα η απόδειξη ειναι ίδια με αυτην του γιοχάναν απλώς τα συμβολα αλλάζουν.

Οπότε επειδή το κ(κ+1) ειναι πάντα άρτιος αριθμός θα γράφεται σαν κ(κ+1)=2 επί κάποιον αριθμό όπως Δ = 2χΔ

Με αντικατάσταση στον "τύπο Α", προκείπτει οτι 4κ(κ+1)=4χ2χΔ=8χΔ και να το ακέραιο πολλαπλάσιο του 8. Όπερ έδει δείξαι.



Να που πέρασα την ωρα μου....

[MightyMouse]

Έγραψα λύση αλλά μετά είδα πως ο Ελβετός Τραπεζίτης το είχε λύσει.

...

[Spiros252]

περαστικός ήμουν απο το νήμα, sorry, συνεχίστε

[Φινγκόλφιν]

Σωστός και ο Ελβετός.

Ενδιάμεσα απέδειξε ο Γιόχι πως δύο διαδοχικοί ακέραιοι έχουν γινόμενο άρτιο, κάτι που γενικά είναι πολύ χρήσιμο.

Δοκίμασα λίγο αυτό με τις ρίζες του Νικ και δεν βλέπω φως στο τούνελ.

[Yochanan]

Σωστός και ο Ελβετός.

Ενδιάμεσα απέδειξε ο Γιόχι πως δύο διαδοχικοί ακέραιοι έχουν γινόμενο άρτιο, κάτι που γενικά είναι πολύ χρήσιμο.

Δοκίμασα λίγο αυτό με τις ρίζες του Νικ και δεν βλέπω φως στο τούνελ.

+1 εχω πήξει με τις ριζες και δεν βγαζω ακρη

To pio kontino που εφτασα ηταν αυτο

C^1000 = X
1000lnC = lnX
1000lnC = ln(x/e^1000lnC) + 1000lnC

[Φινγκόλφιν]

Γενικά, όταν υπάρχουν τόσο τεράστια νούμερα η στρατηγική είναι να παρακάμψεις τους αναλυτικούς υπολογισμούς με καμιά αλγεβρική πουτανιά. Δοκίμασα λίγο με συζυγή παράσταση, κάνα διωνυμικό ανάπτυγμα μπας και, αλλά αυτό με τα δεκαδικά ψηφία δεν ξέρω πώς ακριβώς να το προσεγγίσω.

Μπορεί να μου 'ρθει τίποτα αργότερα αν δεν έχει λυθεί μέχρι τότε.

[nick]

Βασικα το 5, 7 και 1000 ειναι ψιλοτυχαια

SpoilerShow

αν a,b ειναι ακεραιοι το
(√a+√b)²ⁿ + (√a-√b)²ⁿ ειναι παντα ακεραιος.

[akirav]

Ο γριφος ηταν διατυπωμενος ετσι σε διαγωνισμο.

Ενα αλλο θεμα ηταν το:

e^x + e^(-x) = 2συν(χ^2/2)

Το 1ο χιντ αυριο, για οποιον το προσπαθησει (γνωσεις β'λυκειου)

1η βοηθεια:
πρεπει να γινει χρηση καποιων ανισωσεων

[Φινγκόλφιν]

Ο γριφος ηταν διατυπωμενος ετσι σε διαγωνισμο.

Ενα αλλο θεμα ηταν το:

e^x + e^(-x) = 2συν(χ^2/2)

Το 1ο χιντ αυριο, για οποιον το προσπαθησει (γνωσεις β'λυκειου)

1η βοηθεια:
πρεπει να γινει χρηση καποιων ανισωσεων

Αυτό δεν έχει λυθεί ήδη;

[akirav]

τσου

[nick]

τσου

e^x + e^(-x) = 2συν(χ^2/2)

x=0 μοναδική λόγω της μονοτονίας του υπερβολικού συνημιτόνου για χ>=0

Κάπου έγραψα νωρίτερα κι ένα hint για γνώσεις β' λυκείου.

Για κάθε x πραγματικό ισχύει,
e^x + e^-x = α + 1/α
για κάποιο α > 0.

Όμως η συνάρτηση f(α) = α + 1/α έχει ολικό ελάχιστο για α = 1 (εύκολα με παράγωγο) και για κάθε α > 0 με α διαφορετικό του 1 έχουμε

f(α) > f(1) = 2

Από την άλλη το δεξί μέλος δε μπορεί ποτέ να είναι πάνω από 2 μιας και είναι δυο φορές το συνημίτονο κάποιας γωνίας. Άρα μοναδική ελπίδα για λύση είναι για α = 1 => x = 0, το οποίο όντως επαληθεύει την αρχική εξίσωση (σε περίπτωση που δε μας το σφυρίξει κανένας σαν τον Φινγκόλφιν).

[akirav]

ναι
δεν το προσεξα αυτο...

[mrx0]

αλλά εδώ που τα λέμε το βασικό ερώτημα είναι το "τί είμαι;" (που προκύπτει από το "αυτό που είσαι"), το οποίο είναι επίσης λάθος να το αναρωτιέται κανείς, αφού δεν μπορεί να απαντηθεί απόλυτα και είναι καλύτερο να πάει για μπύρες.

το Αξίωμα της Επιλογής;

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE ... E%AE%CF%82

[[42]]

αλλά εδώ που τα λέμε το βασικό ερώτημα είναι το "τί είμαι;" (που προκύπτει από το "αυτό που είσαι"), το οποίο είναι επίσης λάθος να το αναρωτιέται κανείς, αφού δεν μπορεί να απαντηθεί απόλυτα και είναι καλύτερο να πάει για μπύρες.

το Αξίωμα της Επιλογής;

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE ... E%AE%CF%82

ή https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action ;