Phorum.com.gr

Είναι ακόμα πιο γενικό. Νομίζω πως αν πάρεις οποιοδήποτε πλήθος μονοψήφιων αριθμών οι οποίοι με συνεχείς προσθέσεις των ψηφίων τους βγάζουν αποτέλεσμα 1, τότε όσα μηδενικά και αν προσθέσεις στον καθένα από αυτούς, το αποτέλεσμα είναι ίδιο, πάντα 1. Έτσι, δεν είναι περίεργο που κάποιος συνδυασμός μηδενικών βγάζει αποτέλεσμα 100 ή 1000 αντίστοιχα όπου μετά 1 + 0 + 0 = 1 και 1 + 0 + 0 + 0 = 1.

Έτσι, όταν για παράδειγμα γράφει ο Γουίρθ 612 + 388, αυτό σημαίνει 600 + 300 + 10 + 80 + 8 + 2. Από αυτό έχουμε 6 + 3 + 1 + 8 + 8 + 2 = 28 και 8 + 2 = 10 και 1 + 0 = 1. Με διαφορετικό πλήθος μηδενικών σε κάθε ένα από τους συγκεκριμένους μονοψήφιους βγαίνουν τα διαφορετικά αθροίσματα που γράφει και δίνουν 1. Οπότε, αν ισχύει η παρατήρηση που έγραψα αρχικά, η εικασία διατυπώνεται ως εξής:

Αν το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε πλήθους μονοψήφιων αριθμών ισούται με ένα, τότε αν πολλαπλασιάσουμε τουλάχιστον ένα ψηφίο με μια δύναμη της βάσης του θεσιακού αριθμητικού συστήματος με το οποίο συμβολίζουμε τους εν λόγω αριθμούς, το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών που θα προκύψουν θα ισούται πάλι με ένα.

Δεν μου φαίνεται πως αυτό είναι τόσο απλό ερώτημα.

Αυτο που λες ειναι αυτο που εγραψα για ν = 2 (αθροισμα 100). Το οποιο γενικευεται για ν = 3 με τον ιδιο τροπο.

k*10^2+ l*10^1+ m*10^0 + n*10^2 + ο *10^1 + p * 10 ^0 = k*10^2+ l*10^1+ m*10^0 + n*10^2 + (9-k)*10^2+ (9-l)*10^1+ (10-m)*10^0 =
=9*10^2 + 9 * 10^1 + 10*10^0 = 1000

οπου
9+9 + 10 = 1 9 = 1+9 = 10 = 1

Δείχνεις ότι αν δύο διψήφιοι αριθμοί που οι μονάδες του έχουν άθροισμα 10 και οι δεκάδες τους άθροισμα 90 βγάζουν 100 όπου μετά βγαίνει 1. ΟΚ, αλλά δεν δείχνει αυτό για ποιο λόγο αν πάρεις τα ψηφία τους με διαφορετικό τρόπο πάλι βγαίνει 1. Εκτός και αν εννοείς πως είναι δυνατόν να τα βάλουμε σε ζευγάρι όπου το ένα έχει αποτέλεσμα 10 και όλα τα υπόλοιπα 9 το οποίο είναι και γαμώ τις παρατηρήσεις, τώρα το είδα!

Aυτο που λες φιλε Φιν. Απο τον ορισμο του γουιρθ θα πρέπει να αθροίζουν τα τελευταια ψηφια του αριθμου σε 10 και ολα τα υπολοιπα σε 9αρια όπως λες.

Μπράβο, ωραίος.

Αυτό με τα 9 + 9 + ... + 9 + 10, δεν το είχα προσέξει, αυτή είναι η εξήγηση.

Κατάλαβες τώρα φίλτατε wirth πώς γίνονται αυτές οι δουλειές στο phorum;
Γράφεις κάτι του τύπου "ας μπει κανένας μαθηματικός/έξυπνος κλπ γιατί εμένα δεν μου κόβει να το γράψει" και τους αφήνεις να κάνουν τη χαμαλοδουλειά για σένα. Εγώ φυσικά ήξερα τη λύση, απλά βαριόμουν να γράφω τόσα πράματα.




Στη συνέχεια, πετάς μια εξυπνάδα για να δείξεις ότι σκαμπάζεις, κάθεσαι αναπαυτικά και κάνεις ότι καταλαβαίνεις τι έχουν γράψει...

Είναι γενικό το είχα γράψει γενικά τότε. Για κάθε δύναμη του 10 δεν είναι μόνο για το 100 το 1000 η το 10000.

Όποιος το βρει να μας το εξηγήσει απλά. Γιατί παίζει να γράψατε τη λύση και να μην το καταλάβαμε.

wirth έγραψε: ↑

20 Ιουν 2018, 16:38

Είναι γενικό το είχα γράψει γενικά τότε. Για κάθε δύναμη του 10 δεν είναι μόνο για το 100 το 1000 η το 10000.

Aυτο που γραφτηκε ειναι γενικο. Αν ισχυει για 100 (9 + 1) τοτε για 1000 ειναι 9 + (9 + 1) που ειναι ιδιο με 9 + 1 κ.ο.κ.

Πολύ καλό ευχαριστώ απλά θα το διαβασω να το καταλαβω. Τόσα χρόνια μετά επιτέλους λύση!

Πες οτι k = 4, l = 3, n = 5, o = 7. 43+57 = 100 oπως πρέπει

για να ισχυει αυτο παντα l + o = 10 & k + n = 90 ωστε αθροιζοντας τα να εχεις 100
αν πηγαινε 1000 θα ειχες τα τελευταια 2 ψηφια να ειναι 10 και ολα τα υπολοιπα αυξανομενες δυναμεις του 10 επι 9 ωστε προσθετοντας 10, 100, 1000, κ.ο.κ. καθε φορα να πας στο παραπανω στρογγυλο

Απλά τα τυχαία αθροισματα δεν κατάλαβα γιατί βγαίνουν 1. Υποτίθεται ότι παίρνοντας αριθμούς όπως θέλω με τα ψηφία του αρχικού αριθμού προκύπτουν νέοι αριθμοί σαν αξία οπότε ενώ φαίνεται ότι αυτός ο μετασχηματισμος θα χαλάσει κάτι τελικά δεν το χαλάει. Γιατί φαίνεται σαν αυθαίρετο το να δημιουργείς νέους αριθμούς δίνοντας διαφορετική αξία όπως θέλεις και να μην χαλάει η κλειστοτητα της πράξης αυτής.
Αν είναι κάτι που έχετε ήδη πει μην με παρεξηγησετε αφήστε με να το μελετήσω.
Ευχαριστώ Yochanan.

wirth έγραψε: ↑

20 Ιουν 2018, 17:03

Και φίλος μην αφαιρείσαι με τις πινακίδες των άλλων όταν οδηγάς

wirth έγραψε: ↑

20 Ιουν 2018, 17:21

Απλά τα τυχαία αθροισματα δεν κατάλαβα γιατί βγαίνουν 1. Υποτίθεται ότι παίρνοντας αριθμούς όπως θέλω με τα ψηφία του αρχικού αριθμού προκύπτουν νέοι αριθμοί σαν αξία οπότε ενώ φαίνεται ότι αυτός ο μετασχηματισμος θα χαλάσει κάτι τελικά δεν το χαλάει. Γιατί φαίνεται σαν αυθαίρετο το να δημιουργείς νέους αριθμούς δίνοντας διαφορετική αξία όπως θέλεις και να μην χαλάει η κλειστοτητα της πράξης αυτής.
Αν είναι κάτι που έχετε ήδη πει μην με παρεξηγησετε αφήστε με να το μελετήσω.
Ευχαριστώ Yochanan.

Αρχικά, για ευκολία, ας ορίσουμε την πράξη της επαναληπτικής πρόσθεσης ψηφίων ενός αριθμού. Να μη γράφω τώρα γενικές περιπτώσεις κτλ, το δείχνω με παράδειγμα. Το σύμβολο είναι παρενθέσεις και το γράμμα «d».

(6781)d = (6 + 7 + 8 + 1)d = (22)d = (2 + 2)d = (4)d = 4.

Νομίζω είναι απλό και κατανοητό.

Η παρατήρηση που έκανες είναι πάρα πολύ όμορφη. Γενικεύεται πολύ περισσότερο από το άθροισμα δύο αριθμών. Ισχύει, για παράδειγμα, και για το άθροισμα τεσσάρων αριθμών που δίνουν δύναμη του δέκα:

(α) 370 + 30 + 458 + 142 = 1000.

Αν τώρα γράψουμε π.χ. 25 + 708 + 44 + 313 = 1090 και (1090)d = 1. Αυτό που στην πραγματικότητα ισχύει είναι πως αν πάρεις οποιουδήποτε πλήθους μονοψήφιους αριθμούς, τους προσθέσεις και το επαναληπτικό άθροισμα των ψηφίων τους δίνει ένα, τότε μπορείς να κατασκευάσεις ένα οποιοδήποτε άθροισμα αριθμών χρησιμοποιώντας όλα αυτά τα ψηφία ακριβώς μια φορά. Είναι δυνατόν κάποιο από αυτά τα αθροίσματα να είναι δύναμη του δέκα και όλα τους θα έχουν επαναληπτικό άθροισμα ψηφίων ένα. Έτσι, η αρχή αυτή διατυπώνεται με τη μορφή που έγραψα εδώ με πλάγια γράμματα.

Πρόσεξε πως οποιοδήποτε άθροισμα από αυτά που έγραψες κατασκευάζεται πολλαπλασιάζοντας κάποια ψηφία με δυνάμεις του δέκα. Στο παράδειγμα (β) που έδωσες, έχουμε τους δύο αριθμούς 612 και 388. Τα ψηφία τους είναι τα 6, 1, 2, 3, 8, 8. Έχουμε ότι 6 + 1 + 2 + 3 + 8 + 8 = 28 και (28)d = 1. Για να φτιαχτεί το πρώτο άθροισμα που δίνει χίλια, πολλαπλασιάζουμε το 6 και το 3 με το 100 και το 1 και το 8 με το 10, παίρνοντας 600 + 10 + 2 + 300 + 80 + 8 = 612 + 388 = 1000 και (1000)d = 1. Θα δώσει ένα όμως όπως και να πολλαπλασιάσεις το κάθε ψηφίο. Το δεύτερο άθροισμα που γράφεις προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε επί 10 τα 1 και 8. Έχουμε λοιπόν 6 + 10 + 2 + 80 + 3 + 8 = 6 + 12 + 83 + 8 = 109 και (109)d = 1. Το ίδιο και για τα υπόλοιπα αθροίσματα που γράφεις.

Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι η πολύ ωραία παρατήρηση του Γιόχι. Συμβαίνει όταν μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τα ψηφία σε ομάδες που η μία έχει άθροισμα των στοιχείων της δέκα και οι υπόλοιπες εννιά. Έτσι, το άθροισμα των ψηφίων γίνεται να γραφτεί ως 9 + 9 + ... + 9 + 10 και είναι νομίζω προφανές γιατί ένα τέτοιο άθροισμα έχει πάντα άθροισμα ψηφίων το 1. Αν είναι μόνο το 10 τότε 1 + 0 = 1. Αν υπάρχει 9 τότε (1 + 0 + 9)d = (19)d = 1. Γενικεύεται για οποιοδήποτε πλήθος από εννιάρια.

Πρόσεξε ότι και στα δύο παραδείγματα αυτού του ποστ μπορούν να γραφτούν με τέτοιον τρόπο τα ψηφία. Στο παράδειγμα (α) έχουμε (5 + 4) + (8 + 1) + (3 + 0 + 4 + 2) + (7 + 3 + 0) και στο παράδειγμα (β) έχουμε (6 + 3) + (8 + 1) + (8 + 2). Είναι προφανές λοιπόν γιατί αυτό δίνει αποτέλεσμα 1 κάθε φορά. Τώρα, αν πάρεις ένα οποιοδήποτε ψηφίο από αυτά και το πολλαπλασιάσεις με δύναμη του δέκα το άθροισμα ψηφίων δεν πρόκειται να αλλάξει[1].

(5 + 4)d = 9
(50 + 4)d = (54)d = (5 + 4)d = 9
(5 + 40)d = (45)d = (4 + 5)d = 9
(500 + 40000)d = (40500)d = (4 + 0 + 5 + 0 + 0)d = 9.

Και αυτός είναι ο λόγος που όπως και να βάλεις τα ψηφία, πάντα θα δίνει αποτέλεσμα επαναληπτικού αθροίσματος ψηφίων το 1.

Αυτή είναι μια «χαλαρή» εξήγηση. Τώρα, με βάση αυτά, αν κάποιος έχει χρόνο και όρεξη μπορεί να κάτσει και να αποδείξει τυπικά την εικασία.

Σημειώσεις
[1]Στην πραγματικότητα, όταν παίρνεις τα ψηφία ενός αριθμού και τα προσθέτεις, πες τον 54, αυτό που κάνεις, ενώ ο αριθμός είναι της μορφής 50 + 4, είναι να διαιρείς οποιονδήποτε από τους επιμέρους αριθμούς που ειναι >=10 με κατάλληλη δύναμη του δέκα για να γίνει μονοψήφιος. Έτσι (54)d = (50 + 4)d = 50 / 10 + 4 = 5 + 4 = 9.