Το παράδοξο του Monty Hall

Ποιά η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει το αυτοκίνητο αν μείνει / αλλάξει πόρτα;

ΜΕΝΕΙ: 1/2 | ΑΛΛΑΖΕΙ: 1/2
4
40%
ΜΕΝΕΙ: 1/3 | ΑΛΛΑΖΕΙ: 2/3
6
60%
ΜΕΝΕΙ: 1/3 | ΑΛΛΑΖΕΙ: 1/2
0
Δεν υπάρχουν ψήφοι
ΜΕΝΕΙ: 1/2 | ΑΛΛΑΖΕΙ: 1/3
0
Δεν υπάρχουν ψήφοι
 
Σύνολο ψήφων: 10

Άβαταρ μέλους
hellegennes
Δημοσιεύσεις: 40333
Εγγραφή: 01 Απρ 2018, 00:17

Re: Πιθανότητα για γενέθλια την ίδια μέρα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hellegennes » 03 Ιούλ 2020, 02:45

Ο λόγος που το Μόντι Χολ είναι αντίθετο στην διαίσθηση, είναι επειδή εξαρχής δεν υπάρχουν τρεις επιλογές αλλά μόνο δύο. Απλά οι δύο πόρτες είναι ισοδύναμες. Απ' την στιγμή που έχεις να επιλέξεις ανάμεσα σε δύο πόρτες που η μία είναι σίγουρα σωστή και η άλλη σίγουρα λάθος, δηλαδή δεν είναι ούτε και οι δύο λάθος ούτε και οι δύο σωστές, η πιθανότητα να επιλέξεις σωστά είναι 50%. Αυτή είναι ανεξάρτητη πιθανότητα από την πιθανότητα να έχεις επιλέξει αρχικά την σωστή πόρτα, που είναι 1/3.

Αυτό, δηλαδή τι επιλογή έκανες αρχικά, έχει πρακτική αξία αν τρέξεις το ίδιο παιχνίδι πολλές φορές. Ας πούμε 200 φορές, όπου στις 100 ο παίκτης αλλάζει γνώμη και στις άλλες 100 όχι. Στο τέλος, το γκρουπ των παικτών που άλλαξαν γνώμη θα έχει περισσότερους νικητές από το δεύτερο γκρουπ.

Νομίζω ότι αυτό γίνεται περισσότερο κατανοητό αν αυξήσουμε λίγο τον αριθμό των λανθασμένων επιλογών. Ας πούμε πως υπάρχουν 100 πόρτες, όπου οι 99 δεν έχουν τίποτα και μόνο μία έχει έπαθλο. Μετά την επιλογή σου, ανοίγουν οι 98 και αποκαλύπτεται ότι δεν έχουν τίποτα. Φυσικά, ποτέ δεν ανοίγει η πόρτα που έχει το έπαθλο σ' αυτό το στάδιο, δηλαδή είναι φτιαγμένο το παιχνίδι και όχι τυχαίο, ώστε να δίνει την εντύπωση ότι υπάρχει 50% πιθανότητα να επέλεξες σωστά. Στην πραγματικότητα η πιθανότητα να διάλεξες το έπαθλο εξαρχής είναι 1/100.
Ξημέρωσε.
Α, τι ωραία που είναι!
Ήρθε η ώρα να κοιμηθώ.
Κι αν είμαι τυχερός,
θα με ξυπνήσουν μια Δευτέρα παρουσία κατά την θρησκεία.
Μα δεν ξέρω αν και τότε να σηκωθώ θελήσω.

Άβαταρ μέλους
Σωκράτης
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: 27 Ιουν 2020, 18:12

Re: Πιθανότητα για γενέθλια την ίδια μέρα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σωκράτης » 03 Ιούλ 2020, 02:51

hellegennes έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 02:45
Ο λόγος που το Μόντι Χολ είναι αντίθετο στην διαίσθηση, είναι επειδή εξαρχής δεν υπάρχουν τρεις επιλογές αλλά μόνο δύο. Απλά οι δύο πόρτες είναι ισοδύναμες. Απ' την στιγμή που έχεις να επιλέξεις ανάμεσα σε δύο πόρτες που η μία είναι σίγουρα σωστή και η άλλη σίγουρα λάθος, δηλαδή δεν είναι ούτε και οι δύο λάθος ούτε και οι δύο σωστές, η πιθανότητα να επιλέξεις σωστά είναι 50%. Αυτή είναι ανεξάρτητη πιθανότητα από την πιθανότητα να έχεις επιλέξει αρχικά την σωστή πόρτα, που είναι 1/3.

Αυτό, δηλαδή τι επιλογή έκανες αρχικά, έχει πρακτική αξία αν τρέξεις το ίδιο παιχνίδι πολλές φορές. Ας πούμε 200 φορές, όπου στις 100 ο παίκτης αλλάζει γνώμη και στις άλλες 100 όχι. Στο τέλος, το γκρουπ των παικτών που άλλαξαν γνώμη θα έχει περισσότερους νικητές από το δεύτερο γκρουπ.

Νομίζω ότι αυτό γίνεται περισσότερο κατανοητό αν αυξήσουμε λίγο τον αριθμό των λανθασμένων επιλογών. Ας πούμε πως υπάρχουν 100 πόρτες, όπου οι 99 δεν έχουν τίποτα και μόνο μία έχει έπαθλο. Μετά την επιλογή σου, ανοίγουν οι 98 και αποκαλύπτεται ότι δεν έχουν τίποτα. Φυσικά, ποτέ δεν ανοίγει η πόρτα που έχει το έπαθλο σ' αυτό το στάδιο, δηλαδή είναι φτιαγμένο το παιχνίδι και όχι τυχαίο, ώστε να δίνει την εντύπωση ότι υπάρχει 50% πιθανότητα να επέλεξες σωστά. Στην πραγματικότητα η πιθανότητα να διάλεξες το έπαθλο εξαρχής είναι 1/100.
Συγνώμη τώρα, αλλά γιατί να μην είσαι σε μία υπέρθεση αφού ακόμα δεν ξέρεις τίποτα; να είσαι ταυτόχρονα και κερδισμένος και χαμένος;
Με το που ξεσκαρτάρονται οι πόρτες να υπόκεισαι σε κατάρρευση του 50%.
Ως αποτέλεσμα κατάρρευσης των πιθανοτήτων να είναι τελικά το 50-50

Άβαταρ μέλους
hellegennes
Δημοσιεύσεις: 40333
Εγγραφή: 01 Απρ 2018, 00:17

Re: Πιθανότητα για γενέθλια την ίδια μέρα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hellegennes » 03 Ιούλ 2020, 03:27

Όχι. Η πιθανότητα να βγεις κερδισμένος ανεξάρτητα από το τι θα διαλέξεις και η πιθανότητα να διαλέξεις το σωστό δεν είναι ίδιες. Η πιθανότητα γενικά να επιλέξεις την σωστή επιλογή σε αυτό το στάδιο είναι 50%. Ή θα χάσεις ή θα κερδίσεις. Δηλαδή αν στρίψεις νόμισμα, έχεις 50% πιθανότητα να πέσεις στην σωστή επιλογή. Η πιθανότητα όμως να κερδίσεις για μια συγκεκριμένη πόρτα, σ' αυτό το στάδιο, είναι διαφορετική. Η πόρτα που δεν διάλεξες είναι πιο πιθανό να είναι η σωστή.
Ξημέρωσε.
Α, τι ωραία που είναι!
Ήρθε η ώρα να κοιμηθώ.
Κι αν είμαι τυχερός,
θα με ξυπνήσουν μια Δευτέρα παρουσία κατά την θρησκεία.
Μα δεν ξέρω αν και τότε να σηκωθώ θελήσω.

Spiros252
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 11581
Εγγραφή: 13 Μαρ 2018, 19:22
Phorum.gr user: Spiros252
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Spiros252 » 03 Ιούλ 2020, 04:57

enaon έγραψε:
08 Αύγ 2018, 11:32
αυτο με το εμαιλ Σπύρο είναι αλήθεια, ή το έβαλες για το σασπένς κλπ;
Μετά από τόσο καιρό μπορώ να απαντήσω.. :003:

Το παράδοξο διατυπώθηκε με την ερώτηση ενός αναγνώστη στο περιοδικό parade όπου έγραφε η Marilyn vos Savant, ο άνθρωπος με το μεγαλύτερο IQ εν ζωή.

Η Savant απάντησε στη στήλη της, πως η πιθανότητα δεν είναι 50-50 και αν αλλάξει πόρτα έχει περισσότερες πιθανότητες ο παίκτης να κερδίσει το αυτοκίνητο.

Τότε έγινε ο χαμός.. Όντως, ένας καθηγητής πανεπιστημίου της έστειλε την επιστολή που αναφέρω παραπάνω κατακρίνοντάς την για τη λανθασμένη απάντησή της.

Μετά από κάποιο διάστημα δεν υπήρχε χώρος στο γραφείο του περιοδικού για τα γράμματα που κατέφθαναν..
«Η παρουσία μας επιλέγει από ένα τεράστιο σύνολο μόνο σύμπαντα συμβατά με την ύπαρξή μας.
Αν και είμαστε μικροί και ασήμαντοι σε κοσμικό επίπεδο, αυτό μας κάνει κατά κάποιο τρόπο, κύριους της δημιουργίας»
.
Stephen Hawking

Άβαταρ μέλους
break
Δημοσιεύσεις: 1152
Εγγραφή: 04 Οκτ 2018, 22:49
Phorum.gr user: break

Re: Πιθανότητα για γενέθλια την ίδια μέρα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από break » 03 Ιούλ 2020, 11:48

hellegennes έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 02:45
Ο λόγος που το Μόντι Χολ είναι αντίθετο στην διαίσθηση,
Νομίζω ότι εκεί που την πατάει ο εγκέφαλος είναι ότι αποδίδει την πιθανότητα στην πόρτα. Λέει δηλαδή αυτή η πόρτα έχει 1/3 πιθανότητα και το αντιμετωπίζει αυτό το 1/3 σαν να είναι μία εγγενή ιδιότητα της. Όπως π.χ. το χρώμα που έχει ή η τις διαστάσεις της.

Αλλά η πιθανότητα δεν είναι ιδιότητα της πόρτας αλλά του παιχνιδιού. Μόλις το παιχνίδι αλλάζει με την εισαγωγή νέων πληροφοριών αλλάζει και η πιθανότητα.

Και εκεί την πατάς. Γιατί στο μυαλό σου αυτή η πόρτα έχει ταυτισθεί με αυτή την πιθανότητα. Αφού το νέο παιχνίδι χρησιμοποιεί την ίδια πόρτα υποθέτεις εσφαλμένα ότι με την πόρτα πάει και η πιθανότητα που είχε πριν.

Άβαταρ μέλους
Bipsco
Δημοσιεύσεις: 3137
Εγγραφή: 15 Δεκ 2018, 14:25

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bipsco » 03 Ιούλ 2020, 12:20

Έχεις 1/3 πιθανότητες να έχεις επιλέξει την σωστή κουρτίνα και 2/3 την λάθος. Αν αλλάξεις, έχεις την διπλάσια πιθανότητα να κερδίσεις.

Χρυσολωράς
Δημοσιεύσεις: 129
Εγγραφή: 11 Ιουν 2020, 22:04

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρυσολωράς » 03 Ιούλ 2020, 20:36

Ο λόγος που η διαίσθηση ξεγελιέται είναι επειδή κρύβεται πολύ έξυπνα η δέσμευση της πιθανότητας. Στο παίκτη παρουσιάζεται το πρόβλημα ως δύο ανεξάρτητες επιλογές. Διάλεξε μία από τις τρεις πόρτες. Στην μία έχει αυτοκίνητο, στις άλλες δύο κατσίκα. Τώρα διάλεξε μία από τις δύο πόρτες. Στην μία έχει αυτοκίνητο, στην άλλη κατσίκα.

Στην πραγματικότητα όμως η δεύτερη επιλογή είναι άμεσα συνδεδεμένη με την πρώτη επιλογή που έκανες, δεν υπάρχει ανεξαρτησία. Δεν είσαι κάποιος που μπαίνει στο δωμάτιο στο δεύτερο μισό του παιχνιδιού και διαλέγεις. Ξέρεις ότι κατά δύο τρίτα επέλεξες κατσίκα και ξέρεις ότι οι δύο εναπομείνασες πόρτες κρύβουν διαφορετικά πράγματα από πίσω. Είναι πιθανότερο λοιπόν το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την άλλη πόρτα.

Άβαταρ μέλους
Yochanan
Δημοσιεύσεις: 16178
Εγγραφή: 31 Μαρ 2018, 13:44
Phorum.gr user: Yochanan

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Yochanan » 03 Ιούλ 2020, 20:39

Χρυσολωράς έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 20:36
Ο λόγος που η διαίσθηση ξεγελιέται είναι επειδή κρύβεται πολύ έξυπνα η δέσμευση της πιθανότητας. Στο παίκτη παρουσιάζεται το πρόβλημα ως δύο ανεξάρτητες επιλογές. Διάλεξε μία από τις τρεις πόρτες. Στην μία έχει αυτοκίνητο, στις άλλες δύο κατσίκα. Τώρα διάλεξε μία από τις δύο πόρτες. Στην μία έχει αυτοκίνητο, στην άλλη κατσίκα.

Στην πραγματικότητα όμως η δεύτερη επιλογή είναι άμεσα συνδεδεμένη με την πρώτη επιλογή που έκανες, δεν υπάρχει ανεξαρτησία. Δεν είσαι κάποιος που μπαίνει στο δωμάτιο στο δεύτερο μισό του παιχνιδιού και διαλέγεις. Ξέρεις ότι κατά δύο τρίτα επέλεξες κατσίκα και ξέρεις ότι οι δύο εναπομείνασες πόρτες κρύβουν διαφορετικά πράγματα από πίσω. Είναι πιθανότερο λοιπόν το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την άλλη πόρτα.
ωραια εξηγηση. μπαγιεσα για μπαγιεσα τώρα, αυτο πώς συνδέεται με το αλλο με τα γεννέθλια;
Κυριάκος ο Χρυσογέννητος, του Οίκου των Μητσοτακιδών, Πρώτος του Ονόματός του, Κύριος των Κρητών και των Πρώτων Ελλήνων, Προστάτης της Ελλάδος, Μπαμπάς της Δρακογενιάς, ο Κούλης του Οίνοπα Πόντου, ο Ατσαλάκωτος, ο Απελευθερωτής από τα Δεσμά των Μνημονίων.

Χρυσολωράς
Δημοσιεύσεις: 129
Εγγραφή: 11 Ιουν 2020, 22:04

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρυσολωράς » 03 Ιούλ 2020, 20:45

Αυτό; Δεν συνδέεται κάπως. Απλά και τα δύο χαρακτηρίζονται παράδοξα επειδή ξεγελούν την διάισθηση. Τα γενέθλια την ξεγελούν επειδή μοιάζει δύσκολο η πιθανότητα να είναι τόσο υψηλή για τόσο λίγα άτομα.

stavmanr
Μέλη που αποχώρησαν
Δημοσιεύσεις: 31881
Εγγραφή: 14 Δεκ 2018, 11:41

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavmanr » 03 Ιούλ 2020, 21:44

Αυτό που μας ενδιαφέρει, δεν είναι αν θα πετύχει το σωστό και το λάθος γενικά, αλλά οι πιθανότητες των συνδυασμών πορείας σωστού-λάθους στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Εμμένω στην απόφαση" σημαίνει σωστό-σωστό ή λάθος-λάθος στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Αλλάζω απόφαση" σημαίνει σωστό-λάθος ή λάθος-σωστό στις δύο φάσεις.

Νομίζω ότι οι επιλογές αναπαρίστανται ως εξής:

Εικόνα


Πιθανότητες συνδυασμών:
1) Σωστό - Σωστό -> 1/6
2) Σωστό - Λάθος -> 1/6
3) Λάθος - Σωστό -> 2/6
4) Λάθος - Λάθος -> 2/6

Άρα, αν αλλάξουμε επιλογή (λάθος-> σωστό) έχουμε 2/6 πιθανότητες να πετύχουμε το σωστό, ενώ αν εμμείνουμε (σωστό -> σωστό) έχουμε 1/6. Στην ουσία μας λέει ότι η πιθανότητα να έχουμε πετύχει από την αρχή το σωστό είναι λιγότερη, από ότι αν πετύχαμε στην αρχή το λάθος και στη συνέχεια αλλάξαμε σε σωστό, που είναι λογικό αφού οι πιθανότητες λάθους στην πρώτη φάση είναι διπλάσιες κι άρα υπάρχουν διπλάσιες "πορείες" προς το σωστό.
Οι τελικές πιθανότητες να πετύχει το σωστό ή το λάθος είναι ισοπίθανες, όπως επίσης περιμέναμε.

Άβαταρ μέλους
Bipsco
Δημοσιεύσεις: 3137
Εγγραφή: 15 Δεκ 2018, 14:25

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bipsco » 03 Ιούλ 2020, 23:08

stavmanr έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 21:44
Αυτό που μας ενδιαφέρει, δεν είναι αν θα πετύχει το σωστό και το λάθος γενικά, αλλά οι πιθανότητες των συνδυασμών πορείας σωστού-λάθους στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Εμμένω στην απόφαση" σημαίνει σωστό-σωστό ή λάθος-λάθος στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Αλλάζω απόφαση" σημαίνει σωστό-λάθος ή λάθος-σωστό στις δύο φάσεις.

Νομίζω ότι οι επιλογές αναπαρίστανται ως εξής:

Εικόνα


Πιθανότητες συνδυασμών:
1) Σωστό - Σωστό -> 1/6
2) Σωστό - Λάθος -> 1/6
3) Λάθος - Σωστό -> 2/6
4) Λάθος - Λάθος -> 2/6

Άρα, αν αλλάξουμε επιλογή (λάθος-> σωστό) έχουμε 2/6 πιθανότητες να πετύχουμε το σωστό, ενώ αν εμμείνουμε (σωστό -> σωστό) έχουμε 1/6. Στην ουσία μας λέει ότι η πιθανότητα να έχουμε πετύχει από την αρχή το σωστό είναι λιγότερη, από ότι αν πετύχαμε στην αρχή το λάθος και στη συνέχεια αλλάξαμε σε σωστό, που είναι λογικό αφού οι πιθανότητες λάθους στην πρώτη φάση είναι διπλάσιες κι άρα υπάρχουν διπλάσιες "πορείες" προς το σωστό.
Οι τελικές πιθανότητες να πετύχει το σωστό ή το λάθος είναι ισοπίθανες, όπως επίσης περιμέναμε.
Όταν έχεις επιλέξει τον ζονκ( ή το γαϊδούρι), ο παρουσιαστής σου ανοίγει την άλλη λάθος επιλογή, άρα η κλειστή κουρτίνα έχει το αυτοκίνητο. Επομένως, όταν αλλάζεις επιλογή έχεις 66% πιθανότητα να κερδίσεις.

stavmanr
Μέλη που αποχώρησαν
Δημοσιεύσεις: 31881
Εγγραφή: 14 Δεκ 2018, 11:41

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavmanr » 03 Ιούλ 2020, 23:15

Bipsco έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 23:08
stavmanr έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 21:44
Αυτό που μας ενδιαφέρει, δεν είναι αν θα πετύχει το σωστό και το λάθος γενικά, αλλά οι πιθανότητες των συνδυασμών πορείας σωστού-λάθους στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Εμμένω στην απόφαση" σημαίνει σωστό-σωστό ή λάθος-λάθος στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Αλλάζω απόφαση" σημαίνει σωστό-λάθος ή λάθος-σωστό στις δύο φάσεις.

Νομίζω ότι οι επιλογές αναπαρίστανται ως εξής:

Εικόνα


Πιθανότητες συνδυασμών:
1) Σωστό - Σωστό -> 1/6
2) Σωστό - Λάθος -> 1/6
3) Λάθος - Σωστό -> 2/6
4) Λάθος - Λάθος -> 2/6

Άρα, αν αλλάξουμε επιλογή (λάθος-> σωστό) έχουμε 2/6 πιθανότητες να πετύχουμε το σωστό, ενώ αν εμμείνουμε (σωστό -> σωστό) έχουμε 1/6. Στην ουσία μας λέει ότι η πιθανότητα να έχουμε πετύχει από την αρχή το σωστό είναι λιγότερη, από ότι αν πετύχαμε στην αρχή το λάθος και στη συνέχεια αλλάξαμε σε σωστό, που είναι λογικό αφού οι πιθανότητες λάθους στην πρώτη φάση είναι διπλάσιες κι άρα υπάρχουν διπλάσιες "πορείες" προς το σωστό.
Οι τελικές πιθανότητες να πετύχει το σωστό ή το λάθος είναι ισοπίθανες, όπως επίσης περιμέναμε.
Όταν έχεις επιλέξει τον ζονκ( ή το γαϊδούρι), ο παρουσιαστής σου ανοίγει την άλλη λάθος επιλογή, άρα η κλειστή κουρτίνα έχει το αυτοκίνητο. Επομένως, όταν αλλάζεις επιλογή έχεις 66% πιθανότητα να κερδίσεις.
Στη δεύτερη φάση, ο παρουσιαστής σου "αποκλείει" πάντοτε μία από τις δύο λάθος επιλογές. Επομένως, οτιδήποτε κι αν επιλέξεις στην πρώτη φάση, στη δεύτερη μένει πάντοτε να επιλέξεις μεταξύ ενός σωστού κι ενός λάθους (50%).
Το πρόβλημα δεν ζητά πόσες οι πιθανότητες γενικά να κερδίσεις, αλλά πόσες είναι οι πιθανότητες να κερδίσεις ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ή ΕΜΜΕΝΟΝΤΑΣ στην αρχική σου επιλογή. Επομένως, ψάχνεις τους πιθανούς συνδυασμούς επιμονής ή αλλαγής της αρχικής επιλογής και υπολογίζεις τις πιθανότητες των συνδυασμών. Αυτό το 50% του σωστού της β φάσης προκύπτει κατά τα 2/3 του από την πιθανή αλλαγή της αρχικής λανθασμένης τοποθέτησης, και κατά το 1/3 του από εμμονή στην πιθανή σωστή αρχική τοποθέτηση. Με απλά λόγια, είχες περισσότερες πιθανότητες εξαρχής να επιλέξεις το λάθος, παρά να επιλέξεις το σωστό. Άρα, πιθανοτικά, πρέπει να ποντάρεις στην υπόθεση ότι 2 στις 3 φορές θα επιλέγεις αρχικά το λάθος και στη συνέχεια θα προσπαθείς να πιάσεις το σωστό διορθώνοντας την αρχική επιλογή.

Στο παράδειγμα του Hellegennes, αν είχαμε εκατό πόρτες αντί τριών, οι πιθανότητες να πρέπει να αλλάξεις την αρχική σου επιλογή θα ήταν 99 φόρες περισσότερες.

Άβαταρ μέλους
Bipsco
Δημοσιεύσεις: 3137
Εγγραφή: 15 Δεκ 2018, 14:25

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Bipsco » 04 Ιούλ 2020, 00:41

stavmanr έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 23:15
Bipsco έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 23:08
stavmanr έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 21:44
Αυτό που μας ενδιαφέρει, δεν είναι αν θα πετύχει το σωστό και το λάθος γενικά, αλλά οι πιθανότητες των συνδυασμών πορείας σωστού-λάθους στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Εμμένω στην απόφαση" σημαίνει σωστό-σωστό ή λάθος-λάθος στις δύο φάσεις του παιχνιδιού. "Αλλάζω απόφαση" σημαίνει σωστό-λάθος ή λάθος-σωστό στις δύο φάσεις.

Νομίζω ότι οι επιλογές αναπαρίστανται ως εξής:

Εικόνα


Πιθανότητες συνδυασμών:
1) Σωστό - Σωστό -> 1/6
2) Σωστό - Λάθος -> 1/6
3) Λάθος - Σωστό -> 2/6
4) Λάθος - Λάθος -> 2/6

Άρα, αν αλλάξουμε επιλογή (λάθος-> σωστό) έχουμε 2/6 πιθανότητες να πετύχουμε το σωστό, ενώ αν εμμείνουμε (σωστό -> σωστό) έχουμε 1/6. Στην ουσία μας λέει ότι η πιθανότητα να έχουμε πετύχει από την αρχή το σωστό είναι λιγότερη, από ότι αν πετύχαμε στην αρχή το λάθος και στη συνέχεια αλλάξαμε σε σωστό, που είναι λογικό αφού οι πιθανότητες λάθους στην πρώτη φάση είναι διπλάσιες κι άρα υπάρχουν διπλάσιες "πορείες" προς το σωστό.
Οι τελικές πιθανότητες να πετύχει το σωστό ή το λάθος είναι ισοπίθανες, όπως επίσης περιμέναμε.
Όταν έχεις επιλέξει τον ζονκ( ή το γαϊδούρι), ο παρουσιαστής σου ανοίγει την άλλη λάθος επιλογή, άρα η κλειστή κουρτίνα έχει το αυτοκίνητο. Επομένως, όταν αλλάζεις επιλογή έχεις 66% πιθανότητα να κερδίσεις.
Στη δεύτερη φάση, ο παρουσιαστής σου "αποκλείει" πάντοτε μία από τις δύο λάθος επιλογές. Επομένως, οτιδήποτε κι αν επιλέξεις στην πρώτη φάση, στη δεύτερη μένει πάντοτε να επιλέξεις μεταξύ ενός σωστού κι ενός λάθους (50%).
Το πρόβλημα δεν ζητά πόσες οι πιθανότητες γενικά να κερδίσεις, αλλά πόσες είναι οι πιθανότητες να κερδίσεις ΑΛΛΑΖΟΝΤΑΣ ή ΕΜΜΕΝΟΝΤΑΣ στην αρχική σου επιλογή. Επομένως, ψάχνεις τους πιθανούς συνδυασμούς επιμονής ή αλλαγής της αρχικής επιλογής και υπολογίζεις τις πιθανότητες των συνδυασμών. Αυτό το 50% του σωστού της β φάσης προκύπτει κατά τα 2/3 του από την πιθανή αλλαγή της αρχικής λανθασμένης τοποθέτησης, και κατά το 1/3 του από εμμονή στην πιθανή σωστή αρχική τοποθέτηση. Με απλά λόγια, είχες περισσότερες πιθανότητες εξαρχής να επιλέξεις το λάθος, παρά να επιλέξεις το σωστό. Άρα, πιθανοτικά, πρέπει να ποντάρεις στην υπόθεση ότι 2 στις 3 φορές θα επιλέγεις αρχικά το λάθος και στη συνέχεια θα προσπαθείς να πιάσεις το σωστό διορθώνοντας την αρχική επιλογή.

Στο παράδειγμα του Hellegennes, αν είχαμε εκατό πόρτες αντί τριών, οι πιθανότητες να πρέπει να αλλάξεις την αρχική σου επιλογή θα ήταν 99 φόρες περισσότερες.
Το αυτοκίνητο έχει 1/3 να έχει επιλεχθεί και 2/3 να μην. Όταν ο παρουσιαστής ανοίγει μια κουρτίνα αυτές οι πιθανότητες δεν αλλάζουν γιατί οι δυο φάσεις δεν είναι ανεξάρτητες. Δεν είναι δυο διαφορετικά πειράματα.

Άβαταρ μέλους
Σωκράτης
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: 27 Ιουν 2020, 18:12

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σωκράτης » 04 Ιούλ 2020, 00:51

Χρυσολωράς έγραψε:
03 Ιούλ 2020, 20:36
Ο λόγος που η διαίσθηση ξεγελιέται είναι επειδή κρύβεται πολύ έξυπνα η δέσμευση της πιθανότητας. Στο παίκτη παρουσιάζεται το πρόβλημα ως δύο ανεξάρτητες επιλογές. Διάλεξε μία από τις τρεις πόρτες. Στην μία έχει αυτοκίνητο, στις άλλες δύο κατσίκα. Τώρα διάλεξε μία από τις δύο πόρτες. Στην μία έχει αυτοκίνητο, στην άλλη κατσίκα.

Στην πραγματικότητα όμως η δεύτερη επιλογή είναι άμεσα συνδεδεμένη με την πρώτη επιλογή που έκανες, δεν υπάρχει ανεξαρτησία. Δεν είσαι κάποιος που μπαίνει στο δωμάτιο στο δεύτερο μισό του παιχνιδιού και διαλέγεις. Ξέρεις ότι κατά δύο τρίτα επέλεξες κατσίκα και ξέρεις ότι οι δύο εναπομείνασες πόρτες κρύβουν διαφορετικά πράγματα από πίσω. Είναι πιθανότερο λοιπόν το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την άλλη πόρτα.
Κάπως μου κάθεται άσχημα αυτή η δέσμευση πιθανότητας. Λες και δεν υπάρχουν άλλοι παράγοντες παρά μόνο ο μαθηματικός λόγος ή η μαθηματική ισχύς στα πάντα και παντού, σε όλο το σύμπαν. Πως γίνεται να είναι ίδιες οι πιθανότητες όταν ο οργανωτής του παιχνιδιού δεν ξέρει που είναι αυτό που κερδίζει και όταν διαλέξει ο παίκτης χαρτί - το κάνω με χαρτιά γιατί με βολεύει καλύτερα ως παράδειγμα - τότε ο οργανωτής σηκώνει ένα χαρτί με τρόπο ώστε να μη φανεί σε άλλον και μετά σηκώνει να δει και το άλλο. Αν βρει αυτό που κερδίζει βγάζει το άλλο. Αν και τα δύο δεν κερδίζουν βγάζει ένα στην τύχη. Με ψυχρό τρόπο, ας είναι ρομπότ και όχι άνθρωπος.
Τι γίνεται εκεί; Δεν είναι 50%

stavmanr
Μέλη που αποχώρησαν
Δημοσιεύσεις: 31881
Εγγραφή: 14 Δεκ 2018, 11:41

Re: Το παράδοξο του Monty Hall

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavmanr » 04 Ιούλ 2020, 00:53

Bipsco έγραψε:
04 Ιούλ 2020, 00:41
Το αυτοκίνητο έχει 1/3 να έχει επιλεχθεί και 2/3 να μην.
Σωστά.
Όταν ο παρουσιαστής ανοίγει μια κουρτίνα αυτές οι πιθανότητες δεν αλλάζουν γιατί οι δυο φάσεις δεν είναι ανεξάρτητες. Δεν είναι δυο διαφορετικά πειράματα.
Μα, αυτές οι πιθανότητες αφορούσαν το πρώτο δείγμα. Τώρα, το δείγμα έχει αλλάξει. Έχουν αφαιρεθεί ήδη στοιχεία του δείγματος με την απόφαση του παρουσιαστή να αφαιρέσει τη μία από τις δύο λάθος επιλογές.
Τώρα πλέον η πιθανότητα να πετύχεις το σωστό είναι 1/2, από εκεί που ήταν 1/3.
Πρόκειται για άλλο δείγμα που συνδέεται με το πρώτο έμμεσα, ενώ θα μπορούσε να λειτουργεί τελείως αυτόνομα (να σου έδινε δύο πόρτες σωστή-λάθος και να διάλεγες απευθείας από το δεύτερο δείγμα).

Αν, λοιπόν, το πρόβλημα ζητούσε απλά τις πιθανότητες να κερδίσεις, θα παρέλειπες το πρώτο βήμα και θα απαντούσες κατευθείαν "50%" με βάση το δεύτερο θεωρώντας σωστά ότι η δεύτερη επιλογή καθορίζει την επιτυχία ή αποτυχία.
Τώρα που σου ζητά να συνδυάσεις τις δύο επιλογές, το πρόβλημα γίνεται σύνθετο κι αφορά την επάλληλη επιλογή που θα οδηγήσει στο σωστό αποτέλεσμα.
Στην ουσία σου ζητά να βρεις αν η ίδια επιλογή (τιμή) παράγει καλύτερο αποτέλεσμα στους δύο δειγματικούς χώρους ή αν η εναλλακτική επιλογή (αλλαγή τιμής) είναι αυτή που το πετυχαίνει. Πλέον το ζητούμενο δεν είναι η επιρροή της επιλογής καθαυτής, αλλά η επιρροή της "μεταβολής της επιλογής". Είναι β' βάθμιος παράγοντας.

Και τελικά καταλήγει στο αυτονόητο: να ακολουθείς πάντοτε το δρόμο με τις περισσότερες πιθανότητες. Στην πρώτη φάση περνάς με κάθε επιλογή, κι άρα θα πας με το λάθος που είναι το πιθανότερο. Στη δεύτερη φάση περνάς μόνο με το σωστό κι επομένως θα πας με το σωστό. Άρα ο ισχυρότερος πιθανοτικά συνδυασμός είναι να αλλάξεις επιλογή στο ενδιάμεσο.

Τα γράφω λίγο πεζοδρομιακά αλλά γενικά προσπαθώ να αναλύσω τις πιθανοτικές σχέσεις με "λαϊκό" τρόπο... :oops:

Απάντηση


  • Παραπλήσια Θέματα
    Απαντήσεις
    Προβολές
    Τελευταία δημοσίευση

Επιστροφή στο “Μαθηματικοί Γρίφοι”

Phorum.com.gr : Αποποίηση Ευθυνών