Δύσκολο πρόβλημα με Λόττο
Δημοσιεύτηκε: 01 Φεβ 2022, 09:02
Στο Λόττο ο παίκτης καλείται να μαντέψει 6 αριθμούς από 49.
Το σύνολο των εξάδων είναι ο αριθμός 49 choose 6 = 13983816.
Είναι δηλαδή μία στα δεκατέσσερα εκατομμύρια η πιθανότητα να βρεις το εξάρι με μία στήλη.
Αλλά υπάρχουν και οι "κατηγορίες παρηγοριάς", το 5άρι και το 4άρι.
Το πρόβλημα είναι να βρούμε στήλες που να εγγυώνται 4άρι και άνω, σε όποια εξάδα και αν κληρωθεί από τις 13983816.
Δεν έχει πρακτική αξία, αλλά είναι ενδιαφέρον.
Θεωρητικά ο αριθμός στηλών για να επιτυγχάνεται το 4άρι είναι 1013.
Πως προκύπτει αυτό ;
Αν η στήλη μου είναι η 1-2-3-4-5-6 τότε αυτή σαν νικήτρια στήλη πιάνει 1 εξάρι, 6 πεντάρια (6 choose 5 = 6) και 15 τεσσάρια (6 choose 4 = 15).
Αλλά για τα έξη πεντάρια υπάρχουν 258 άλλες στήλες που έχουν τα ίδιο πεντάρια (6 χ (43 choose 1) = 258).
Και για τα 15 τεσσάρια της εξάδας μου υπάρχουν 13545 στήλες που έχουν τα ίδια τεσσάρια (15 χ (43 choose 2) = 13545).
΄
Άρα το σύνολο των 13983816 στηλών προκειμένου για "ένα τεσσάρι και άνω" γίνεται 13983816 / (1 + 258 + 13545) = 1013.026.
Πράγματι αυτό αν βάλετε Monte Carlo θα το διαπιστώσετε.
Με 1013 τυχαία επιλεγμένες παιζόμενες στήλες και οι νικήτριες να επιλέγονται επίσης τυχαία από το σύνολο των 13983816 θα δείτε ότι κατά μέσο όρο έχετε μία επιτυχία, που θα είναι τεσσάρι βασικά και ελάχιστες φορές πεντάρι ή εξάρι.
Οι 1013 τυχαίες στήλες έχουν πιθανότητα 63% περίπου ( = 1 - exp(-1)) ), σύμφωνα με τον νόμο των μεγάλων αριθμών. Κατά 37% δεν θα πιάνετε τίποτα, αλλά επειδή στο 63% θα είναι μερικές φορές 2 οι επιτυχίες, γίνεται μέσος όρος 1.
Αλλά υπάρχουν αλγόριθμοι απαλοιφής που μπορούν να μας βρουν στήλες με εγγυημένο το 4άρι (και άνω).
Μία δε αρχική παρατήρηση είναι ότι σε ένα τέτοιο σύστημα στηλών κάθε στήλη πρέπει να διαφέρει από κάθε άλλη κατά 3 τουλάχιστον νούμερα - διότι αλλοιώς θα έχουμε 2 τεσσάρια (και άνω) ενώ εμείς ψάχνουμε για το ελάχιστο υποσύνολο που πιάνει 1 τεσσάρι (και άνω).
Όμως αυτό δεν αρκεί !
Θα σας βγουν πολλές στήλες, πάνω από 10,000 !
Το ζητούμενο είναι να βρεθεί ένας αλγόριθμος που βρίσκει το ελάχιστο, το οποίο θεωρητικά είναι 1013 στήλες όπως είπαμε.
Πριν από χρόνια είχα πετύχει μία Ρώσικη σελίδα που είχε τα -υποτίθεται- ρεκόρ (αλγοριθμικής απαλοιφής). Δεν θυμάμαι τι είχε βγάλει ο Ρώσος και δεν βρίσκεται αυτή η σελίδα (νομίζω πάντως είχε βρει γύρω στις 4000 στήλες για το ζητούμενο).
Όμως βρήκα αυτήν την σελίδα:
https://kyr.gr/books/lotto/lotto_lista/lotto_lista.htm
Εδώ με πάει για μέχρι 40 νούμερα λόττο και λέει 3781 στήλες (σ.σ. βλέπε το δεύτερο μπλοκ από πάνω).
Δεν με πάει μέχρι τα 49 νούμερα που είναι το πλήρες Λόττο, υποτίθεται ότι η νικήτρια έχει βγει από μέσα από 40 νούμερα.
Για να δω τι λέει αυτό το 3781 επαναλαμβάνω τους αρχικούς υπολογισμούς, να βρω τον θεωρητικό αριθμό στηλών στα 40 νούμερα.
Βγαίνει 445, άρα το 3781 δεν μοιάζει καθόλου για ... ρεκόρ, αλλά αυτό βρήκαν.
Υπάρχει κανένας που μπορεί να λύσει αυτό το πρόβλημα ;
Αν υπάρχει σίγουρα θα υπάρχει και κάποιο βραβείο, όπως με το θεώρημα του Fermat.
Το σύνολο των εξάδων είναι ο αριθμός 49 choose 6 = 13983816.
Είναι δηλαδή μία στα δεκατέσσερα εκατομμύρια η πιθανότητα να βρεις το εξάρι με μία στήλη.
Αλλά υπάρχουν και οι "κατηγορίες παρηγοριάς", το 5άρι και το 4άρι.
Το πρόβλημα είναι να βρούμε στήλες που να εγγυώνται 4άρι και άνω, σε όποια εξάδα και αν κληρωθεί από τις 13983816.
Δεν έχει πρακτική αξία, αλλά είναι ενδιαφέρον.
Θεωρητικά ο αριθμός στηλών για να επιτυγχάνεται το 4άρι είναι 1013.
Πως προκύπτει αυτό ;
Αν η στήλη μου είναι η 1-2-3-4-5-6 τότε αυτή σαν νικήτρια στήλη πιάνει 1 εξάρι, 6 πεντάρια (6 choose 5 = 6) και 15 τεσσάρια (6 choose 4 = 15).
Αλλά για τα έξη πεντάρια υπάρχουν 258 άλλες στήλες που έχουν τα ίδιο πεντάρια (6 χ (43 choose 1) = 258).
Και για τα 15 τεσσάρια της εξάδας μου υπάρχουν 13545 στήλες που έχουν τα ίδια τεσσάρια (15 χ (43 choose 2) = 13545).
΄
Άρα το σύνολο των 13983816 στηλών προκειμένου για "ένα τεσσάρι και άνω" γίνεται 13983816 / (1 + 258 + 13545) = 1013.026.
Πράγματι αυτό αν βάλετε Monte Carlo θα το διαπιστώσετε.
Με 1013 τυχαία επιλεγμένες παιζόμενες στήλες και οι νικήτριες να επιλέγονται επίσης τυχαία από το σύνολο των 13983816 θα δείτε ότι κατά μέσο όρο έχετε μία επιτυχία, που θα είναι τεσσάρι βασικά και ελάχιστες φορές πεντάρι ή εξάρι.
Οι 1013 τυχαίες στήλες έχουν πιθανότητα 63% περίπου ( = 1 - exp(-1)) ), σύμφωνα με τον νόμο των μεγάλων αριθμών. Κατά 37% δεν θα πιάνετε τίποτα, αλλά επειδή στο 63% θα είναι μερικές φορές 2 οι επιτυχίες, γίνεται μέσος όρος 1.
Αλλά υπάρχουν αλγόριθμοι απαλοιφής που μπορούν να μας βρουν στήλες με εγγυημένο το 4άρι (και άνω).
Μία δε αρχική παρατήρηση είναι ότι σε ένα τέτοιο σύστημα στηλών κάθε στήλη πρέπει να διαφέρει από κάθε άλλη κατά 3 τουλάχιστον νούμερα - διότι αλλοιώς θα έχουμε 2 τεσσάρια (και άνω) ενώ εμείς ψάχνουμε για το ελάχιστο υποσύνολο που πιάνει 1 τεσσάρι (και άνω).
Όμως αυτό δεν αρκεί !
Θα σας βγουν πολλές στήλες, πάνω από 10,000 !
Το ζητούμενο είναι να βρεθεί ένας αλγόριθμος που βρίσκει το ελάχιστο, το οποίο θεωρητικά είναι 1013 στήλες όπως είπαμε.
Πριν από χρόνια είχα πετύχει μία Ρώσικη σελίδα που είχε τα -υποτίθεται- ρεκόρ (αλγοριθμικής απαλοιφής). Δεν θυμάμαι τι είχε βγάλει ο Ρώσος και δεν βρίσκεται αυτή η σελίδα (νομίζω πάντως είχε βρει γύρω στις 4000 στήλες για το ζητούμενο).
Όμως βρήκα αυτήν την σελίδα:
https://kyr.gr/books/lotto/lotto_lista/lotto_lista.htm
Εδώ με πάει για μέχρι 40 νούμερα λόττο και λέει 3781 στήλες (σ.σ. βλέπε το δεύτερο μπλοκ από πάνω).
Δεν με πάει μέχρι τα 49 νούμερα που είναι το πλήρες Λόττο, υποτίθεται ότι η νικήτρια έχει βγει από μέσα από 40 νούμερα.
Για να δω τι λέει αυτό το 3781 επαναλαμβάνω τους αρχικούς υπολογισμούς, να βρω τον θεωρητικό αριθμό στηλών στα 40 νούμερα.
Βγαίνει 445, άρα το 3781 δεν μοιάζει καθόλου για ... ρεκόρ, αλλά αυτό βρήκαν.
Υπάρχει κανένας που μπορεί να λύσει αυτό το πρόβλημα ;
Αν υπάρχει σίγουρα θα υπάρχει και κάποιο βραβείο, όπως με το θεώρημα του Fermat.