Το πρόβλημα των 2 αγοριών

[Cecily Anne]

Cecily Anne

[Spiros252]

(μιλούν για το ίδιο πρόβλημα αλλά ανοίγει κορίτσι - ψάχνουν πιθανότητα για δεύτερο κορίτσι)

Ας κάνουμε μια υπόθεση εργασίας χωρίς φορμαλισμό και τύπους και αριθμούς:
Τι γνώση έχουμε πηγαίνοντας στο σπίτι του Μπάμπη; Ας την πούμε αυτή την “εκ των προτέρων» ή a priori γνώση μας και συνοψίζεται στο «Ο φίλος μου ο Μπάμπης έχει 2 παιδιά» Σύμφωνοι;
Ας δώσει ο καθένας ό,τι τιμές θέλει σ’αυτές τις αρχικές πιθανότητες. Δεν έχει τεθεί ΑΚΟΜΗ ερώτημα στην εκφώνηση. Σωστά;
Φτάνουμε στο Μπαμπόσπιτο και μας ανοίγει 1 κορίτσι.
ΤΩΡΑ τίθεται το ερώτημα «Ποια η πιθανότητα και το δεύτερο παιδί να είναι κορίτσι»;
Η πιθανότητα είναι δεσμευμένη-υπό συνθήκη.
Ας πούμε πως μόλις σας ανοίξει το κορίτσι ,σκέφτεστε «πω,πώ! Αφηρημένο γαϊδούρι είμαι! Ήρθα , χωρίς να φέρω τίποτε στα δυο παιδιά! Eυτυχώς υπάρχει Μακντόναλντς δίπλα, οπότε ας πεταχτώ να τους πάρω από ένα Χάπυ Μηλ. Έχω λεφτά όμως για ακριβώς δύο! Aς πάρω το ένα κοριτσίστικο (το σίγουρο, για το κορίτσι που μου άνοιξε). E, τώρα αν πρέπει να ρισκάρετε για το δεύτερο Χάπυ μηλ; θα το πάρετε αγορίστικο Χαλμπ Ντινγκ,Θανάση και Στράτο; Μάλλον, αφού η πιθανότερη πιθανότητα είναι 1/3 . Ο κος Τ. Κ. θα έριχνε κορώνα-γράμματα (αφού δίνει 50%). Εγώ θα το έπαιρνα κοριτσίστικο. :-)
Γιατί; Επειδή η πιθανότητα που δίνω στο φύλο του παιδιού που δεν έχω δει ακόμη, είναι Mπαγιεσιανή.
Είναι η πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι κορίτσι, δεδομένου πως ο Μπάμπης έχει σίγουρα ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα κορίτσι, αυτό που ήδη με περιμένει στην πόρτα να φέρω τα παιδικά γεύματα.
Κι αυτή είναι ξεκάθαρα 2/3.
Εξυπακούεται πως αν είμαι πιο προνοητικός και έχω πάρει εκ των προτέρων δώρο στην τύχη για 2 παιδιά, ο βαθμός άγνοιάς μου θα ήταν μεγαλύτερος και θα είχα άλλες πιθανότητες να πετύχω τα σωστά ανά φύλο δώρα. Οι πιθανότητες είναι degree of belief (μέτρον πίστης ή πιο ταιριαστά: μέτρον της άγνοιάς μας ή της γνώσης μας, το ίδιο κάνει).

Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2014/11/blog-post_27.html

[Cecily Anne]

Ε αυτό που σας λέω εξ αρχής. Μαλακίες, διότι έχουν μπερδέψει τη κληρονομικότητα με τις πιθανότητες στα ζάρια.

[Spiros252]

Ε, κι εσύ τώρα, αφού σου λέω ..έχουν δίκιο. Διάβασε καλύτερα.

[Cecily Anne]

Ε, κι εσύ τώρα, αφού σου λέω ..έχουν δίκιο. Διάβασε καλύτερα.

Ό,τι πείτε.

[Σπύρος]

Πας επίσκεψη σε ένα σπίτι που ξέρεις ότι το ζευγάρι έχει 2 παιδιά. Σου ανοίγει ένα παιδί αγόρι. Τι σκέφτεσαι; Το λογικό είναι να σκεφτείς ότι το άλλο είναι πιο πιθανό να είναι κορίτσι. Νομίζω είναι απλό.

Σα να μου λες οτι αν στη ρουλέτα βγάλει η μπίλια κοκκινο, στην επόμενη μπιλια είναι πιο πιθανό να βγει το μαύρο. Δεν ισχύει, πάλι ισοπίθανα είναι.

Στην ρουλέτα υπεισέρχεται η σειρά της εμφάνισης. Το ότι η πιθανότητα είναι 50% δεν σημαίνει ότι θα πάει μαύρο, κόκκινο, μαύρο, κόκκινο. Έχω κερδίσει χρήματα βλέποντας να έχει τρία ή τέσσερα, δεν θυμάμαι καλά, συνεχόμενο κόκκινα και ποντάροντας τότε στο μαύρο. Εσύ λανθασμένα συγκρίνεις κάτι που γίνεται κλήρωση απαναλαμβανόμενα με κάτι που γίνεται κλήρωση μία φορά(η κατανομή αγόρι, κορίτσι).

[enaon]

(μιλούν για το ίδιο πρόβλημα αλλά ανοίγει κορίτσι - ψάχνουν πιθανότητα για δεύτερο κορίτσι)

Η πιθανότητα είναι δεσμευμένη-υπό συνθήκη.

Γιατί; Επειδή η πιθανότητα που δίνω στο φύλο του παιδιού που δεν έχω δει ακόμη, είναι Mπαγιεσιανή.
Είναι η πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι κορίτσι, δεδομένου πως ο Μπάμπης έχει σίγουρα ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα κορίτσι, αυτό που ήδη με περιμένει στην πόρτα να φέρω τα παιδικά γεύματα.
Κι αυτή είναι ξεκάθαρα 2/3.

χάνει στην λογική του νομίζω οτι την ώρα που φτάνει και βλέπει το κορίτσι, δεν έχει δεδομένο απλά οτι βλέπει το κορίτσι, αλλά οτι αυτό έγινε τυχαία, στα μισά από τα μισά μπαμπόσπιτα άνοιξε ένα αγόρι αντί ένα κορίτσι κλπ.


είναι πολύ ωραίο πρόβλημα πάντως γιατί πρέπει να το περπατήσεις στο μυαλό για να δεις οτι υπάρχει η τύχη μέσα στην εκφώνηση, εγώ δηλαδή δεν την είδα και πήγα να την υπολογίσω, πολύ ωραίο.

[Σπύρος]

Να σημειώσω ότι δεν μελετάμε την διατύπωση:

Ποιο η πιθανότητα σε σπίτι με 2 παιδιά, να μας ανοίξει αγόρι και το άλλο παιδί να είναι αγόρι. Αυτό είναι άλλη περίπτωση και η λύση είναι 1/4. Στην διατύπωση την δική μας έχουμε 1/3.

Δεν το διατυπώνει όμως έτσι. Ρωτάει την πιθανότητα 1 παιδί να είναι αγόρι. Οπότε είτε είναι λάθος είτε παραπλανητική.

Όχι μας δίδει την αρχική πληροφορία ότι τα παιδιά είναι 2. Κανένα λάθος. Δεν είναι παραπλανητική.

[sharp]

Να σημειώσω ότι δεν μελετάμε την διατύπωση:

Ποιο η πιθανότητα σε σπίτι με 2 παιδιά, να μας ανοίξει αγόρι και το άλλο παιδί να είναι αγόρι. Αυτό είναι άλλη περίπτωση και η λύση είναι 1/4. Στην διατύπωση την δική μας έχουμε 1/3.

Δεν το διατυπώνει όμως έτσι. Ρωτάει την πιθανότητα 1 παιδί να είναι αγόρι. Οπότε είτε είναι λάθος είτε παραπλανητική.

Όχι μας δίδει την αρχική πληροφορία ότι τα παιδιά είναι 2. Κανένα λάθος. Δεν είναι παραπλανητική.

Αλλο εννοώ. Πρέπει να διαβάσεις πιο πίσω

[casper quantum]

να πω και γω την ανοησία μου.

Αν η εκφώνηση εννοεί ποια θα είναι η πιθανότητα την μία και μοναδική φορά που επισκέπτονται σπίτι που θα ανοίξει πρώτα αγόρι τότε είναι 50%

Αν εννοεί τι θα συναντήσουν συνολικά αφού επισκεφθούν μεγάλο αριθμό σπιτιών τότε συνολικά το νούμερο θα τείνει στο 33%

Ομάδα στατιστικής έρευνας επισκέπτεται τυχαία οικογένειες που έχουν δύο ακριβώς παιδιά.
Αν ο ερευνητής χτυπήσει την πόρτα και του ανοίξει ένα αγόρι, ποιά η πιθανότητα και το άλλο παιδί να είναι αγόρι;

ο μαο λέει και έχει δίκιο νομίζω, ότι η εκφώνηση είναι σάλτσα σκέτη. Δεν υπάρχει έννοια δείγματος για να βγάλεις πιθανότητα, η εκφώνηση περιλαμβάνει την τύχη μέσα, τυχαία θα σου ανοίξει αγόρι ή κορίτσι, οπότε οι πράξεις έχουν γίνει για εμάς και είμαστε στο 50% τώρα.

Δεν νομιζω οτι υπαρχει προβλημα με την εκφωνηση. Αρχιζεις και χτυπας κουδουνια σε σπιτια με δυο παιδια. Οταν ανοιγει κοριτσι φευγεις. Οταν ανοιξει αγορι, ποσες πιθανοτητες υπαρχουν να ειναι και το δευτερο παιδι αγορι; 50% οπως ειπαμε πριν. Αν ομως σου πουν οτι στην ταδε οικογενεια που εχει δυο παιδια, το ενα ειναι αγορι, ποσες πιθανοτητες υπαρχουν να ειναι και το δευτερο αγορι, τοτε το ποσοστο πεφτει στο 33%

Όσο μεγαλώνει ο δειγματικός χώρος (επιλογές - παρονομαστής στο κλάσμα των πιθανοτήτων), τόσο μειώνεται η πιθανότητα, σωστά. Σε κάθε πρόβλημα τον δειγματικό χώρο τον καθορίζει η εκφώνηση και ειλικρινά δεν μπορώ να πιάσω την σκέψη πολλών. Με το που το διάβασα η απάντηση ήτανε 50%. Τι κι' αν λέει οικογένειες; Ναι. Πηγαίνει και χτυπάει πόρτες αλλά η ερώτηση έχει να κάνει με την πιθανότητα το 2ο παιδί να είναι αγόρι στην συγκεκριμένη οικογένεια που θα χτυπήσει το κουδούνι. Και μάλιστα σου περιορίζει και τον δειγματικό σου χώρο αφού σου λέει πως το πρώτο παιδί είναι αγόρι. Αυτόματα το ΚΑ και ΚΚ βγαίνουν απ' το παιχνίδι. Δεν μας ενδιαφέρει καμιά κληρονομικότητα και καμιά ηλικία. Νομίζω πως μπερδεύει το γεγονός ότι είναι αρκετά απλή και ο κόσμος ψάχνει για παγίδες και πολύπλοκες σκέψεις...δεν ξέρω.

[Spiros252]

Η παρακατω διατύπωση του προβλήματος είναι ισοδύναμη με την αρχική;


"Ομάδα στατιστικής έρευνας επισκέπτεται τυχαία οικογένειες που έχουν ένα παιδί και η γυναίκα είναι έγκυος στο δευτερο.
Αν ο ερευνητής χτυπήσει την πόρτα και του ανοίξει ένα αγόρι, ποιά η πιθανότητα και το άλλο παιδί που θα γεννηθεί να είναι αγόρι;"

Ναι. Το ότι δεν έχει γεννηθεί ακόμα το παιδί δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει και δεν σημαίνει ότι δεν έχει φύλο.
Και υπάρχει και έχει συγκεκριμένο φύλο και βρίσκεται μέσα στο σπίτι.

Δεν νομίζω βρε Σπύρο.
Αλλάζουν τα δεδομένα.
Το πρόβλημα σε αυτή την περίπτωση θα γινόταν "αν ανοίξει την πόρτα το μεγαλύτερο παιδί και είναι αγόρι, τότε..."
Ενώ τώρα το αγόρι που θα ανοίξει μπορεί να είναι είτε το μεγαλύτερο είτε το μικρότερο παιδι

->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->

Το να ξέρεις ότι αυτό που άνοιξε είναι το γεννημένο, δεν μεταβάλλει την πιθανότητα του άλλου του αγέννητου κι έτσι παραμένει 1/2 αγόρι.

Είναι σαν να ξέρεις ότι το ένα είναι μέσα στη ντουλάπα κλειδωμένο - και προφανώς δεν είναι εκείνο που άνοιξε.

[ritzeri]

Πας σε ένα σπίτι με δύο παιδιά.

Πόσες είναι οι πιθανότητες να υπάρχει ένα αγόρι στα δύο παιδιά;
Πόσες είναι οι πιθανότητες το μεγαλύτερο παιδι να είναι αγόρι;

Αυτές οι δύο πιθανότητες είναι ίδιες;

[Spiros252]

Ναι. 50-50. Εκτός αν εννοείς με το «ένα αγόρι στα δύο παιδιά» να είναι τουλάχιστον το ένα αγόρι.

[casper quantum]

Παιδιάααα

Χθες πήγα να λύσω κάτι ασκησούλες και με την πρώτη που διάβασα θυμήθηκα αυτό εδώ το θέμα :p
Θέλω μια μικρήη βοηθειούλα. Βασικά θα βάλω κι' εδώ την λύση μου (έχω και απάντηση γιατί σήμερα τα διορθώσαμε) και θέλω να μου πείτε πώς το αντιλαμβάνεστε εσείς, γιατί για μια μικρή "παρανόηση" το νόημα/και η λύση χάνεται εντελώς.

Η εκφώνηση είναι η εξής:

Find the probability that in a family with 5 children girls outnumber boys assuming that births are independent trials each with probability of a boy equal to 1/2.

Η δική μου λύση:



(Αρχικά το είχα βάλει μέχρι το p(x=5) και μετά το έσβησα γιατί σκέφτηκα πως για x=5 έχω ΜΟΝΟ κορίτσια, ενώ στην εκφώνηση θα έπρεπε να διευκρινίζει πως δεν χρειάζεται μέσα σε μια οικογένεια να βρίσκω και αγόρι. Όχι; Τουλάχιστον εγώ αυτό σκέφτηκα. Δηλαδή πιο απλά, είναι λογικό όταν όλα τα παιδιά σε μια οικογένεια είναι κορίτσια τότε να ξεπερνάνε τα αγόρια, και από την άλλη δεν έβρισκα λογικό εφόσον θέλει να ξεπερνάνε τα αγόρια, να συμπεριλάβω και την πιθανότητα να είναι όλα κορίτσια γιατί τότε δεν θα υπάρχουνε καν τα αγόρια. Ελπίζω να μην τα λέω εντελώς μπερδεμένα. Η καθηγήτρια κατάλαβε την λογική μου, αλλά ενώ η απάντησή μου ήτανε πολύυ κοντά στο 1/2, μου έλειπε το 1/32 από το P(x=5).

[nick]

Ναι, και το 0 αγορια πρέπει να συμπεριληφθεί.

υπάρχουν 2^5 τρόποι για τα πεντε παιδια
1 τροπος να ειναι 5 κοριτσια
5 τροποι να ειναι 4 κορίτσια
10 τρόποι να ειναι 3 κοριτσια 5!/(3!*2!)=10

(1+5+10)/32=1/2