Τα τυχερά παιχνίδια είναι στημένα

[nik_killthemall]

Απλό παράδειγμα δείχνει ότι κυνηγάτε ανεμόμυλους... Έστω ότι μοντελοποιησατε τέλεια την από κοινού κατανομή παιγμένων στηλών P(X1, X2,..., XN). Έστω ακόμα και ότι οι X είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οπότε σπάει σε γινόμενο.

Άμα κάνεις την παραδοχή ότι οι παιγμένες Χ1,...,ΧΝ έστω ανεξάρτητες, έχεις νομιμοποιήσει τον τύπο του μπακάλη. Έχουμε χωριστεί σε στρατόπεδα για αυτή την παραδοχή.

Υποθετω, την κανει αυτη τη παραδοχη γιατι οπως εγραψα παραπανω τρεχοντας τη μακροεντολη ο τυπος του μπακαλη απεχει πολυ μικρη διαφορα απο τους ανεξαρτητους παιχτες που ειναι το σωστο, η οποια διαφορα εμφανιζεται στο 5ο δεκαδικο της ποσοστιαιας πιθανοτητας των δυο τυπων.

Με λιγα λογια οντως εχουν αριθμητικη διαφορα οι δυο τυποι, αλλα απειροελαχιστη οταν κατα μεσο ορο 1,5 εκ παιχτες παιζουν 3-4 στηλες ο καθενας δημιουργώντας 5 εκ παιγμενες στηλες.

[Ανίκητος]

Άμα κάνεις την παραδοχή ότι οι παιγμένες Χ1,...,ΧΝ έστω ανεξάρτητες, έχεις νομιμοποιήσει τον τύπο του μπακάλη. Έχουμε χωριστεί σε στρατόπεδα για αυτή την παραδοχή.

Υποθετω, την κανει αυτη τη παραδοχη γιατι οπως εγραψα παραπανω τρεχοντας τη μακροεντολη ο τυπος του μπακαλη απεχει πολυ μικρη διαφορα απο τους ανεξαρτητους παιχτες που ειναι το σωστο, η οποια διαφορα εμφανιζεται στο 5ο δεκαδικο της ποσοστιαιας πιθανοτητας των δυο τυπων.

Με λιγα λογια οντως εχουν αριθμητικη διαφορα οι δυο τυποι, αλλα απειροελαχιστη οταν κατα μεσο ορο 1,5 εκ παιχτες παιζουν 3-4 στηλες ο καθενας δημιουργώντας 5 εκ παιγμενες στηλες.

Αυτό ακριβώς εννοούσα όταν σε ρωτούσα αν είναι στατιστικά σημαντική η διαφορά της πιθανότητας.

Στο παρακάτω ποστ ισχυριζόσουν ότι έπρεπε να υπάρχει εκ των προτέρων πιθανότητα μηδέν σε "δισεκατομμύρια δισεκατομμυρίων συνδυασμούς" (συνδυασμοί = στήλες) και εγώ υπολόγιζα με πόση πιθανότητα θα μπορούσαν να προκύψουν αυτοί, όπου προέκυπτε μια απειροελάχιστη πιθανότητα.
Ανίκητος @ Τα τυχερά παιχνίδια είναι στημένα

Απάντησα έτσι γιατί αυτό αρμόζει σε κάθε ισχυρισμό τέτοιου είδους, να δίνεις ένα τρόπο να ποσοτικοποιείται αυτό που θα έπρεπε να μπει μέσα στον υπολογισμό της πιθανότητας. Πώς αλλιώς δηλαδή να μεταδώσω το ότι είναι ασήμαντη αλλαγή στην πιθανότητα νικητή μετά το πέμπτο δεκαδικό ψηφίο και πέρα;

[Crimson_2]

Απλό παράδειγμα δείχνει ότι κυνηγάτε ανεμόμυλους... Έστω ότι μοντελοποιησατε τέλεια την από κοινού κατανομή παιγμένων στηλών P(X1, X2,..., XN). Έστω ακόμα και ότι οι X είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οπότε σπάει σε γινόμενο.

Άμα κάνεις την παραδοχή ότι οι παιγμένες Χ1,...,ΧΝ έστω ανεξάρτητες, έχεις νομιμοποιήσει τον τύπο του μπακάλη. Έχουμε χωριστεί σε στρατόπεδα για αυτή την παραδοχή.

2. Με το που ξεφύγουμε από την ομοιόμορφη κατανομή, έχει σημασία ποιος αριθμός κληρώθηκε για την πιθανότητα νικητή! Οπότε χρειάζεται άθροισμα επί των πιθανών νικητών για να βρεις την ολική πιθανότητα.

Το ποιος αριθμός κληρώθηκε δεν μας στρέφει στο να αναλύσουμε την κληρωτίδα;

Όχι, κάνεις λάθος. Εγώ ποτέ δεν είπα ότι ανεξάρτητα παιξίματα καθιστούν σωστό τον τύπο του μπακάλη, και αν κάποιος το είπε διαφωνώ. Όπως ξαναείπα η βασική απόκλιση από το πραγματικό αποτέλεσμα θα έρθει από την κατανομή του κάθε παιξίματος, που δεν είναι ομοιόμορφη.

Στο δεύτερο δεν κατάλαβα τι μου απάντησες, εγώ λέω ότι άσχετα με κάποια συγκεκριμένη κληρωτίδα θα πρέπει να αναλύσεις την πιθανότητα νικητή σε άθροισμα δεσμευμενων πιθανοτήτων για κάθε πιθανή νικητήρια στήλη. Η μόνη περίπτωση που δεν χρειάζεται αυτό είναι η ομοιόμορφη κατανομή αφού οι δεσμευμένες είναι ίσες μεταξύ τους οπότε έχεις ένα Ν παικτών σε αριθμητή και παρονομαστή και απλοποιούνται

[Ανίκητος]

Όχι, κάνεις λάθος. Εγώ ποτέ δεν είπα ότι ανεξάρτητα παιξίματα καθιστούν σωστό τον τύπο του μπακάλη, και αν κάποιος το είπε διαφωνώ. Όπως ξαναείπα η βασική απόκλιση από το πραγματικό αποτέλεσμα θα έρθει από την κατανομή του κάθε παιξίματος, που δεν είναι ομοιόμορφη.

Στο δεύτερο δεν κατάλαβα τι μου απάντησες, εγώ λέω ότι άσχετα με κάποια συγκεκριμένη κληρωτίδα θα πρέπει να αναλύσεις την πιθανότητα νικητή σε άθροισμα δεσμευμενων πιθανοτήτων για κάθε πιθανή νικητήρια στήλη. Η μόνη περίπτωση που δεν χρειάζεται αυτό είναι η ομοιόμορφη κατανομή αφού οι δεσμευμένες είναι ίσες μεταξύ τους οπότε έχεις ένα Ν παικτών σε αριθμητή και παρονομαστή και απλοποιούνται

Κάτσε να ξεκαθαρίσω στο πρώτο πρώτα: αναφέρεσαι σε ανεξάρτητα παιξίματα, τι συνιστά ένα "παίξιμο"; Ποια χονδρικά είναι η αλληλεξάρτηση που έχουν τα παιξίματα; Και ποια είναι η παραδοχή ανεξαρτησίας που πρέπει να εννοήσω; (όχι να κάνω την παραδοχή, να καταλάβω πού αναφέρεται)

Εγώ έχω εννοήσει ότι από τη συγκεντρωτική λίστα με τις παιγμένες στήλες, με την προσεγγιστική παραδοχή ότι είναι ανεξάρτητες, αφενός παίρνεις για την κάθε μια παιγμένη στήλη την πιθανότητα της αποτυχίας της να είναι η νικήτρια (1-1/ν) αφετέρου νομιμοποιείσαι να πολλαπλασιάσεις όλες αυτές τις επιμέρους πιθανότητες και να πάρεις τον τύπο του μπακάλη 1-(1-1/ν)^m, όπου m το πλήθος των παιγμένων στηλών της συγκεντρωτικής λίστας.

Αν είναι να κάνουμε αυτή την παραδοχή (όπως την εννοώ) και μετά να μπείτε σε μια διαδικασία με αυτήν να μοντελοποιήσετε, ό,τι είναι αυτό που θέλετε να μοντελοποιήσετε (το ποντάρισμα των παικτών, από ό,τι κατάλαβα), δεν είναι λίγο, πώς να το πω, άχρηστο; Δηλαδή τι προσπαθείτε να κερδίσετε;

Στο δεύτερο ερώτηση κάνω. Λες πως έχει σημασία ποιος αριθμός κληρώθηκε για την πιθανότητα νικητή. Οι αριθμοί κληρώνονται από την κληρωτίδα όμως. Αν πρέπει να ξεφύγει και η συμπεριφορά της κληρωτίδας από την ομοιόμορφη κατανομή, νομίζω τότε ότι προεκτείνεις την μελέτη σου και στην κληρωτίδα. Είναι έτσι όπως το λέω;

[nik_killthemall]

Άμα κάνεις την παραδοχή ότι οι παιγμένες Χ1,...,ΧΝ έστω ανεξάρτητες, έχεις νομιμοποιήσει τον τύπο του μπακάλη. Έχουμε χωριστεί σε στρατόπεδα για αυτή την παραδοχή.

Υποθετω, την κανει αυτη τη παραδοχη γιατι οπως εγραψα παραπανω τρεχοντας τη μακροεντολη ο τυπος του μπακαλη απεχει πολυ μικρη διαφορα απο τους ανεξαρτητους παιχτες που ειναι το σωστο, η οποια διαφορα εμφανιζεται στο 5ο δεκαδικο της ποσοστιαιας πιθανοτητας των δυο τυπων.

Με λιγα λογια οντως εχουν αριθμητικη διαφορα οι δυο τυποι, αλλα απειροελαχιστη οταν κατα μεσο ορο 1,5 εκ παιχτες παιζουν 3-4 στηλες ο καθενας δημιουργώντας 5 εκ παιγμενες στηλες.

Αυτό ακριβώς εννοούσα όταν σε ρωτούσα αν είναι στατιστικά σημαντική η διαφορά της πιθανότητας.

Στο παρακάτω ποστ ισχυριζόσουν ότι έπρεπε να υπάρχει εκ των προτέρων πιθανότητα μηδέν σε "δισεκατομμύρια δισεκατομμυρίων συνδυασμούς" (συνδυασμοί = στήλες) και εγώ υπολόγιζα με πόση πιθανότητα θα μπορούσαν να προκύψουν αυτοί, όπου προέκυπτε μια απειροελάχιστη πιθανότητα.
Ανίκητος @ Τα τυχερά παιχνίδια είναι στημένα

Απάντησα έτσι γιατί αυτό αρμόζει σε κάθε ισχυρισμό τέτοιου είδους, να δίνεις ένα τρόπο να ποσοτικοποιείται αυτό που θα έπρεπε να μπει μέσα στον υπολογισμό της πιθανότητας. Πώς αλλιώς δηλαδή να μεταδώσω το ότι είναι ασήμαντη αλλαγή στην πιθανότητα νικητή μετά το πέμπτο δεκαδικό ψηφίο και πέρα;

Μην βιαζεσαι ρε : Όπως εγραψα όταν οι παιγμενες στηλες ειναι της ταξεως των 5εκ στηλων και ο καθε παιχτης παιζει απο 1 ως 7 διαφορετικες στηλες ΤΟΤΕ πραγματι η διαφορα των δυο τυπων ειναι μηδαμινη ! Και μπορει πραγματι ο τυπος του μαναβη να χρησιμοποιηθει ως ακριβεστατη προσεγγιση της ισοπιθανης εκδοχης !

Σε εκεινες ομως τις σελιδες που παραπεμπεις αναφερθηκε και η περιπτωση με 48 εκ παιγμενες στηλες που ειναι πολυ φυσικο να μην υπαρξει νικητης !
Διατηρωντας τη δυνατοτητα σε καθε παιχτη να παιζει απο 1 ως 7 στηλες, αποδιδοντας ραντομ αυτο το πληθος απο 1 ως 7 στηλες σε καθε παιχτη, τρεχοντας παλι τη μακροεντολη (*) βλεπουμε οτι :

- Οταν οι παιγμενες στηλες ειναι 48 εκ τοτε ΠΡΟΦΑΝΩΣ οι δυο τυποι διαφέρουν ! Και η διαφορα τους σε απολυτη τιμη ειναι 2 ποσοστιαιες μοναδες ! και ο σωστος υπολογισμος δεν ειναι η τιμη απο τον τυπο του μπακαλη !

- Το ιδιο συμβαινει αν παιχτουν 24 εκ στηλες, τοτε οι δυο τυποι διαφερουν σε απολυτη διαφορα κατα 1 ποσοστιαια μοναδα ! Και παλι λαθος ειναι ο τυπος του μπακαλη !

- Η διαφορα στο πρωτο δεκαδικο ψηφιο της ποσοστιαιας πιθανοτητας των δυο τυπων ξεκινα απο τις 17 εκ παιγμενες στηλες και πανω !

Με λιγα ο τυπος του μπακαλη προσεγγιζει με ακριβεια την πραγματικοτητα σε ισοπιθανη εκδοχη, ΜΟΝΟ οταν οι παιγμενες στηλες ειναι μεχρι 10-15 εκ ! δηλ. ενα ποσοστο 60% του πληθους των δυνατων συνδυασμων ! Για παραπανω παιγμενες στηλες ο τυπος του μπακαλη υπερ-υπολογιζει και τις πιθανοτητες στις οποιες εκατομμυρια παιχτων συμπληρωνουν ιδιες στηλες με τον εαυτο τους !
Και αν λαβεις υποψη πως το πληθος του δειγματικου χωρου των συνδυασμων ειναι παιγμενες στηλες ^ 24 εκ προφανως το 2% διαφορα οδηγει οντως σε δισεκατομμυρια συνδυασμων που στη πραγματικοτητα δεν υπαρχουν, εφοσον εκατομμυρια παιχτων δεν παθουν ταυτοχρονη ομαδικη παρακρουση για να συμπληρωνουν δελτια με ιδιες στηλες στην ιδια κληρωση !

(*) Μλκια δεν εσωσα την μακροεντολη και καθομουνα και την ξαναφτιαχνα

[Esperos]

Θα πάτε σε μια access, θα φτιάξετε ένα πίνακα όπως ο απο κάτω
Το όνομα του πίνακα JockerTab.
Το πεδίο Diag είναι ο Διαγωνισμός, ημερομηνία κλήρωσης, ακολουθούν Num1 εως Num5 είναι τα 5 νούμερα
tzok το τζόκερ, στιλες
αυό είναι όπως το excel που κατεβάζεις από το σαιτ του οπαπ με το ιστορικό κληρώσεων.
Κατεβάζεις τρία χρόνια ή και παραπάνω, παρακάτω δημιουργείς με vba τον ακόλουθο κώδικα
όπου σου βρίσκει δύο cold νουμερα, δύο hot και ένα τυχαίο, μετά με άλλο κώδικα, βλέπεις την συχνότητα στα τζοκερ.

ID Diag DrawDate Num1 Num2 Num3 Num4 Num5 Tzok Stiles Epit51 profit51 Epit50 profit50
1 2867 04-Feb-25 7 5 38 26 10 12 1154892 - ΤΖΑΚ-ΠΟΤ -
2 2866 02-Feb-25 10 32 23 5 15 18 1701206 - ΤΖΑΚ-ΠΟΤ 1
3 2865 30-Jan-25 37 30 4 7 34 18 7201275 1 19.890.009,46 5
4 2864 28-Jan-25 26 4 29 19 32 1 5163767 - ΤΖΑΚ-ΠΟΤ 2
5 2863 26-Jan-25 39 34 2 16 24 19 6171078 - ΤΖΑΚ-ΠΟΤ 4

Κώδικας: Επιλογή όλων

Function GetHotAndColdNumbers()
    Dim db As DAO.Database
    Dim rs As DAO.Recordset
    Dim HotNumbers As String, ColdNumbers As String
    Dim sqlQuery As String
    
    Set db = CurrentDb

   
    sqlQuery = "SELECT TOP 5 Num, COUNT(*) AS Frequency FROM (" & _
               "SELECT Num1 AS Num FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num2 FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num3 FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num4 FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num5 FROM JockerTab) AS SubQuery " & _
               "GROUP BY Num ORDER BY COUNT(*) DESC;"

    Set rs = db.OpenRecordset(sqlQuery, dbOpenSnapshot)
    
    HotNumbers = "Hot Numbers: "
    While Not rs.EOF
        HotNumbers = HotNumbers & rs!Num & ", "
        rs.MoveNext
    Wend
    rs.Close

    sqlQuery = "SELECT TOP 5 Num, COUNT(*) AS Frequency FROM (" & _
               "SELECT Num1 AS Num FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num2 FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num3 FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num4 FROM JockerTab " & _
               "UNION ALL SELECT Num5 FROM JockerTab) AS SubQuery " & _
               "GROUP BY Num ORDER BY COUNT(*) ASC;"

    Set rs = db.OpenRecordset(sqlQuery, dbOpenSnapshot)
    
    ColdNumbers = "Cold Numbers: "
    While Not rs.EOF
        ColdNumbers = ColdNumbers & rs!Num & ", "
        rs.MoveNext
    Wend
    rs.Close

    MsgBox Left(HotNumbers, Len(HotNumbers) - 2) & vbCrLf & Left(ColdNumbers, Len(ColdNumbers) - 2), vbInformation, "Jocker Hot & Cold Numbers"

    Set rs = Nothing
    Set db = Nothing
End Function 

Με αυτόν τον κώδικα, βλέπεις τα τζοκερ, συχνότητα εμφανίσεων

Κώδικας: Επιλογή όλων

Function CountTzokOccurrencesSorted()
    Dim db As DAO.Database
    Dim rs As DAO.Recordset
    Dim sqlQuery As String
    Dim TzokCount As String

    Set db = CurrentDb

    sqlQuery = "SELECT Tzok, COUNT(*) AS Occurrences FROM JockerTab " & _
               "GROUP BY Tzok " & _
               "ORDER BY COUNT(*) ASC;"  ' ?a????µ?s? ap? t?? ????te?e? st?? pe??ss?te?e? eµfa??se??

    Set rs = db.OpenRecordset(sqlQuery, dbOpenSnapshot)

    TzokCount = "Tzok Occurrences (Sorted by Frequency - Ascending):" & vbCrLf & String(50, "-") & vbCrLf

    While Not rs.EOF
        TzokCount = TzokCount & "Number " & Format(rs!Tzok, "00") & ": " & rs!Occurrences & " times" & vbCrLf
        rs.MoveNext
    Wend


    MsgBox TzokCount, vbInformation, "Tzok Number Occurrences"


    rs.Close
    Set rs = Nothing
    Set db = Nothing
End Function

To τζοκερ συχνότητα είναι αυτό

[Ανίκητος]

Μην βιαζεσαι ρε : Όπως εγραψα όταν οι παιγμενες στηλες ειναι της ταξεως των 5εκ στηλων και ο καθε παιχτης παιζει απο 1 ως 7 διαφορετικες στηλες ΤΟΤΕ πραγματι η διαφορα των δυο τυπων ειναι μηδαμινη ! Και μπορει πραγματι ο τυπος του μαναβη να χρησιμοποιηθει ως ακριβεστατη προσεγγιση της ισοπιθανης εκδοχης !

Ο ένας είναι ο τύπος του μανάβη, ο άλλος ποιος είναι;

Με 48 εκατομμύρια παιγμένες στήλες (από 24435180 που είναι δυνατό να παιχτούν) η πιθανότητα να υπάρχει νικητής με τον τύπο του μπακάλη, είναι 86%.

Τωρα, διατηρωντας τη δυνατοτητα σε καθε παιχτη να παιζει απο 1 ως 7 στηλες, αποδιδοντας ραντομ αυτο το πληθος απο 1 ως 7 στηλες σε καθε παιχτη, τρεχοντας παλι τη μακροεντολη (*) βλεπουμε :

- Οταν οι παιγμενες στηλες ειναι 48 εκ τοτε ΠΡΟΦΑΝΩΣ οι δυο τυποι διαφέρουν ! Και διαφερουν κατα 2 ποσοστιαιες μοναδες ! και ο σωστος υπολογισμος δεν ειναι του μπακαλη !

- Το ιδιο συμβαινει αν παιχτουν 24 εκ στηλες, τοτε οι δυο τυποι διαφερουν κατα 1 ποσοστιαια μοναδα ! Και παλι λαθος ειναι ο τυπος του μπακαλη !

- Η διαφορα στο πρωτο δεκαδικο ψηφιο της ποσοστιαιας πιθανοτητας ξεκινα απο τις 17 εκ παιγμενες στηλες και πανω !

Με λιγα ο τυπος του μπακαλη προσεγγιζει με ακριβεια την πραγματικοτητα σε ισοπιθανη εκδοχη, ΜΟΝΟ οταν οι παιγμενες στηλες ειναι μεχρι 10-15 εκ ! Για παραπανω παιγμενες στηλες ο τυπος του μπακαλη υπολογιζει πιθανοτητες στις οποιες εκατομμυρια παιχτων συμπληρωνουν ιδιες στηλες με τον εαυτο τους !

(*) Μλκια δεν εσωσα την μακροεντολη και καθομουνα και την ξαναφτιαχνα

Η ισοπίθανη εκδοχή ποιανών πραγμάτων;

[pussycat]

Σε έριδα, στο νήμα, έπεσα μέχρι στιγμής με τον @nik_killthemall και παρ' όλα αυτά προσπαθώ να του εξηγήσω και του ζητάω να μου εξηγήσει. Σίγουρα δεν έχουμε καλή χημεία σε αυτή τη συζήτηση.

Ο @pussycat έχει δουλέψει πιο συναινετικά, έχει δίκιο ότι υπάρχει προσεγγιστική λογική στον τύπο "μπακάλη", οπότε έκανα κι εγώ ερωτήσεις στον @nik_killthemall σχετικά με το πώς "σπάει" η ανεξαρτησία των ενδεχομένων: Ανίκητος @ Τα τυχερά παιχνίδια είναι στημένα

SpoilerShow

Υπόψη ότι μετά από αυτό το ποστ κάθισα λίγο να βρω εγώ τι κάνει αυτή η τομή των ενδεχομένων.
Θα περιμένω όμως να δω και άλλες γνώμες, αν εμφανιστούν, για αυτή την τομή - και τότε θα εμφανίσω τη δική μου γνώμη.

Και επιπλέον το έχω θέσει ήδη από πιο νωρίς, ότι ο ισχυρισμός πως ο τύπος είναι εσφαλμένος, οφείλει να συμπληρωθεί και από μια κάποια ποσοτικοποίηση του σφάλματος που κάνει, αν όχι να δείξουμε το σφάλμα το ίδιο. Μαθηματικές αποδείξεις που δεν δείχνουν το σφάλμα του ισχυρισμού κάποιου που φωνάζει για μπακάληδες, δεν είναι επαρκείς.

SpoilerShow

Ο @hellegennes έχει κάνει τα δικά του σιγονταρίσματα (αναφορές σε μαλλιοτραβηγμένους μαθηματικούς κλπ.) αλλά δεν έχει τόση ευθύνη για το σχηματισμό στρατοπέδων σε αυτό το νήμα.

Χε, τελικά κάτσε να δεις που ο μπακαλίστικος τύπος θα είναι και ο σωστός, και πρακτικά, δίνοντας τεράστια ακρίβεια στην πιθανότητα νίκης, μια τέτοια αίσθηση έχω μετά την τελευταία ανάλυσή μου!

αμετανόητος και συ, με το μαγείρεμα που έκανες για να βγάλεις "κανονική" κατανομή καλύτερα να λεγες εμένα μ αρέσει ο τύπος του μανάβη, πιο unbiased θα ήταν.

Υ.Γ. μια κανονική κατανομή με σ->infty ΔΕΝ συγκλίνει σε ομοιόμορφη

Μπορεί και να είμαι biased, λόγω συγγένειας με τη μαναβική!

Εμ, σου είχα πει πως έμπλεξα τη στατιστική με τις πιθανότητες, δε στο χα πει;

Ανίκητος

Ναι, άσε τον Godel, δες το bit shifting: 6 bits για κάθε αριθμό 1-45, 5 bits για το τζόκερ = 6*5+5=35 bits. Με long στα 64-bit έχεις χώρο ακόμα και για τη συχνότητα, περισσότερο από 3 bytes δλδ 16εκ+.

Για το rank που λες, ξαναγυρνάμε στο ξεμπλέξιμο στατιστικής και πιθανότητας.

nik_killthemall

Νομίζω το θέμα είναι πως με μικρό δείγμα, όπου δείγμα = ν = το πλήθος των στηλών που παίχτηκαν, οποιαδήποτε τυχαιότητα θα δίνει κατανομή παρόμοια με την κανονική, ακόμα και αν η "πηγή" της τυχαιότητας είναι η ομοιόμορφη. Είναι σαν να περιμένεις να δεις ομοιόμορφη κατανομή σε 10 ρίψεις ζαριού, μπα, την κανονική θα δεις.

Στην προηγούμενη κλήρωση, οι παιγμένες στήλες ήταν κάτι παραπάνω απο 1εκ., δλδ τουλάχιστον 23εκ δεν παίχτηκαν καθόλου! Κι αυτές που παίχτηκαν, τι κατανομή νομίζεις πως θα ακολούθησαν; Την ομοιόμορφη; Κι ο τύπος του μπακάλη, που βασίζεται στην ομοιόμορφη, με τι κατανομή θα έβγαλε την πιθανότητα; Την ομοιόμορφη; Δε νομίζω, και οι 2 κανονικές είναι. Βάλε ας πούμε έναν RNG να σου παίξει 1 εκ νούμερα από το 1-24εκ και κάνε plot: κανονική κατανομή θα δεις, και όχι ομοιόμορφη.

Με 24 εκ πιθανά ενδεχόμενα, πόσες ρίψεις ή στήλες πρέπει να παιχτούν για να δεις διαφορά στο μοντέλο της τυχαιότητας που χρησιμοποιείς;

[Ανίκητος]

- Η διαφορα στο πρωτο δεκαδικο ψηφιο της ποσοστιαιας πιθανοτητας των δυο τυπων ξεκινα απο τις 17 εκ παιγμενες στηλες και πανω !

Ερώτηση, μήπως ξεκινάει ήδη από τις 16.192.251 παιγμένες στήλες και πάνω;

[Crimson_2]

Κάτσε να ξεκαθαρίσω στο πρώτο πρώτα: αναφέρεσαι σε ανεξάρτητα παιξίματα, τι συνιστά ένα "παίξιμο"; Ποια χονδρικά είναι η αλληλεξάρτηση που έχουν τα παιξίματα; Και ποια είναι η παραδοχή ανεξαρτησίας που πρέπει να εννοήσω; (όχι να κάνω την παραδοχή, να καταλάβω πού αναφέρεται)

Εγώ έχω εννοήσει ότι από τη συγκεντρωτική λίστα με τις παιγμένες στήλες, με την προσεγγιστική παραδοχή ότι είναι ανεξάρτητες, αφενός παίρνεις για την κάθε μια παιγμένη στήλη την πιθανότητα της αποτυχίας της να είναι η νικήτρια (1-1/ν) αφετέρου νομιμοποιείσαι να πολλαπλασιάσεις όλες αυτές τις επιμέρους πιθανότητες και να πάρεις τον τύπο του μπακάλη 1-(1-1/ν)^m, όπου m το πλήθος των παιγμένων στηλών της συγκεντρωτικής λίστας.

Αν είναι να κάνουμε αυτή την παραδοχή (όπως την εννοώ) και μετά να μπείτε σε μια διαδικασία με αυτήν να μοντελοποιήσετε, ό,τι είναι αυτό που θέλετε να μοντελοποιήσετε (το ποντάρισμα των παικτών, από ό,τι κατάλαβα), δεν είναι λίγο, πώς να το πω, άχρηστο; Δηλαδή τι προσπαθείτε να κερδίσετε;

Στο δεύτερο ερώτηση κάνω. Λες πως έχει σημασία ποιος αριθμός κληρώθηκε για την πιθανότητα νικητή. Οι αριθμοί κληρώνονται από την κληρωτίδα όμως. Αν πρέπει να ξεφύγει και η συμπεριφορά της κληρωτίδας από την ομοιόμορφη κατανομή, νομίζω τότε ότι προεκτείνεις την μελέτη σου και στην κληρωτίδα. Είναι έτσι όπως το λέω;

Ωραία μισό να τοποθετηθώ ολοκληρωμένα. Θα προσπαθήσω να δώσω πλήρες πλαίσιο (μαθηματικά). Αυτό το πλαίσιο είναι ουδέτερο φυσικά, οπότε μπορεί να υποστηρίξει ότι έχει ειπωθεί μέχρι στιγμής από κάθε πλευρά: pussycat nik_killthemall

Ένα παίξιμο είναι μία συμμετοχή στην κλήρωση, μια στήλη δηλαδή κόστους 1 ευρώ. Η παραδοχές ανεξαρτησίας οι οποίες έχουν αναφερθεί στο νήμα είναι οι εξής πολλές και διαφορετικές μεταξύ τους:

1. Ανεξάρτητη επιλογή κάθε αριθμού στην στήλη. Επεξήγηση/Παράδειγμα: Το τι παίζει ένας παίκτης δεύτερο αριθμό είναι ανεξάρτητο του τι έπαιξε πρώτο. Που χρειάζεται: Αν θες να υποστηρίξεις ότι οι παίκτες παίζουν με ομοιόμορφη κατανομή, αυτό είναι αναγκαία αλλά όχι επαρκής συνθήκη. Διαφωνώ εγώ: ΝΑΙ

2. Ανεξάρτητα παιξίματα εντός του συνόλου των στηλών που παίζει ο ίδιος παίκτης. Επεξήγηση/Παράδειγμα: Το τι παίζει ένας παίκτης δεύτερη στήλη είναι ανεξάρτητο του τι έπαιξε πρώτη στήλη. Που χρειάζεται: Αν θες να σπάσεις την από κοινού πιθανότητα P(στήλη_1, στήλη_2) σε P(στήλη_1)*P(στήλη_2), όταν στήλη_1,στήλη_2 ανοίκουν στον ίδιο παίκτη. Διαφωνώ εγώ: Ναι, αλλά για χάριν της συζήτησης, έστω πως όχι. Αυτή η ανεξαρτησία δεν θα επηρεάσει τόσο πολύ το αποτέλεσμα, αν και παραμένει "κουφό" να λέμε ότι:

Α. ΘΑ υπάρχουν παίκτες που εντελώς κατά τύχη θα παίξουν πολλές φορές την ίδια στήλη. Πρόσεξε, η ανεξαρτησία δεν σημαίνει ότι θα υπάρχουν κάποιοι τρελοί οι οποίοι επί τούτου θα παίξουν δυό φορές την ίδια στήλη, αλλά ότι τελείως τυχαία αυτό θα συμβεί σε κάποιους. Τον αναμενόμενο αριθμό τους μπορείς να τον βρεις με προσέγγιση με κατανομή Poisson, θεωρώντας "συγκρούσεις" τις ίδιες στήλες. Αυτό σου είπα κάποιες σελίδες πίσω.
Β. ΔΕΝ ΘΑ υπάρχουν παίκτες που παίζουν συνδεδεμένες στήλες μεταξύ τους, έστω στην πιο απλή μορφή βεβαιώνοντας ότι οι στήλες δεν είναι ίδιες μεταξύ τους.

3. Ανεξάρτητα παιξίματα μεταξύ παικτών. Επεξήγηση/Παράδειγμα: Το τι παίζει κάθε παίκτης είναι ανεξάρτητο του τι παίζουν οι άλλοι. Που χρειάζεται: Αν θες να σπάσεις την από κοινού πιθανότητα P(στήλη_1, στήλη_2, στήλη_3, στήλη_4) σε P(στήλη_1, στήλη_2) * P(στήλη_3, στήλη_4) όπου ο παίκτης 1 έπαιξε τις στήλες 1,2 και ο παίκτης 2 τις στήλες 3,4. Διαφωνώ εγώ: Όχι, είμαι θετικός στην υπόθεση ότι οι παίκτες είναι ανοργάνωτοι και δρουν ως μονάδες, αν και είμαι σίγουρος ότι σε μικρό βαθμό αυτό παραβιάζεται του στυλ σε ένα ζευγάρι κοιτάνε να μην παίξουν το ίδιο.

---

Έστω λοιπόν ότι κάνουμε τις παραδοχές 2 και 3. Ας δούμε τι σημαίνει μαθηματικά αυτό. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, και εν αρμονία με την παραδοχή 2, θα θ ονομάσω 1 παίκτης = 1 στήλη στην κλήρωση. (Για να είναι πιο σύντομοι οι συμβολισμοί, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα απλά θα προσθέταμε κι άλλους δείκτες).

Notation/Συμβολισμοί

- Ω: Το συμβάν/ενδεχόμενο (event) να βρεθεί νικητής στην κλήρωση

- x: η τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) που εκφράζει την στήλη που έβγαλε η κληρωτίδα

- X ανήκει σε [1,...,N]: μια συγκεκριμένη τιμή της τ.μ. x, μια στήλη δηλαδή από τις Ν πιθανές.

- i ανήκει σε [1,...,S]: δείκτης που εκφράζει τον i-οστό παίκτη από τους S που μετέχουν στην κλήρωση.

- [ξ_1,.ξ_ι..,ξ_S]: Το σύνολο από S τυχαίες μεταβλητές που εκφράζουν την στήλη που αποφάσισε να παίξει ο παίκτης i βάσει της νοητικής διεργασίας του.

- [Φ_1, ..., Φ_ι,..., Φ_S]: Το σύνολο από S κατανομές πυκνότητας πιθανότητας που εκφράζουν με ποια στρατηγική επιλέγει την στήλη του ο i-οστός παίκτης, δηλαδή οι συναρτήσεις που διέπουν τις ξ_1,...,ξ_Ν

---
Το ζητούμενο είναι λοιπόν, η πιθανότητα του Ω:



από τύπο ολικής πιθανότητας.

Εδώ θα θεωρήσουμε ότι δεν είναι στημένη η κλήρωση, οπότε η τ.μ. x ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή και τα ενδεχόμενα να βγει κάθε μια στήλη νικήτρια είναι ισοπίθανα: Σ_{k=1}^N P(x=k) = N * P = 1, άρα P = 1/N. Αντικαθιστώντας στην (1):

P(Ω) = 1/Ν * Σ_{j=1}^Ν P(Ω|x=j)

Πάμε τώρα να δούμε μια από τις εξαρτημένες πιθανότητες P(Ω|x=j), με j=X. Για συντομία θα την γράψω P(X) αλλά να θυμόμαστε ότι συμβολίζει P(Ω|x=X). H P(X) λοιπόν θα είναι 1- P(^X), δηλαδή 1 - το συμβάν κανένας παίκτης να έπαιξε την Χ στήλη. Η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι λοιπόν, χρησιμοποιώντας την ανεξαρτησία από τα 2,3 όπως είπαμε πριν:



Άρα, το να βρούμε την σωστή απάντηση, ελλείψει παραδοχών για το ΠΩΣ παίζει ο κάθε παίχτης, δηλαδή για τις Φ, είναι ΑΔΥΝΑΤΟΝ. Προφανώς και η παραδοχή του Nik από την οποία πηγάζει το άνω όριο για το P(Ω), ότι δηλαδή έχουμε έναν κάποιον αριθμό από διακριτές στήλες, εμμέσως είναι παραδοχή για το ΠΩΣ έπαιξαν οι παίκτες, αλλιώς δεν θα έβγαιναν ακριβώς τόσες διακριτές στήλες.

Εσύ έχεις εξακολουθήσει να παίρνεις "για την κάθε μια παιγμένη στήλη την πιθανότητα της αποτυχίας της να είναι η νικήτρια (1-1/ν)". Δηλαδή, λες ότι



Αυτό που λες Ανίκητος βλέπουμε εδώ πως με ισοδυναμία ισχύει μόνο όταν όλες οι Φ είναι ομοιόμορφες κατανομές!

Λες πως έχει σημασία ποιος αριθμός κληρώθηκε για την πιθανότητα νικητή. Οι αριθμοί κληρώνονται από την κληρωτίδα όμως. Αν πρέπει να ξεφύγει και η συμπεριφορά της κληρωτίδας από την ομοιόμορφη κατανομή, νομίζω τότε ότι προεκτείνεις την μελέτη σου και στην κληρωτίδα. Είναι έτσι όπως το λέω;

Η κληρωτίδα είναι ομοιόμορφη!, δηλαδή x ~ U(1,N). Αυτό δεν αλλάζει ότι έχεις ξεχωριστά P(Ω|x=j) για κάθε j όμως, γιατί αυτά εξαρτώνται από την πιθανότητα κάθε παίκτης να παίξει το κάθε j!

Ρίξτε μια ματιά για λάθη, αλλά νομίζω σωστά τα έγραψα.

[Crimson_2]

Νομίζω το θέμα είναι πως με μικρό δείγμα, όπου δείγμα = ν = το πλήθος των στηλών που παίχτηκαν, οποιαδήποτε τυχαιότητα θα δίνει κατανομή παρόμοια με την κανονική, ακόμα και αν η "πηγή" της τυχαιότητας είναι η ομοιόμορφη. Είναι σαν να περιμένεις να δεις ομοιόμορφη κατανομή σε 10 ρίψεις ζαριού, μπα, την κανονική θα δεις.

Στην προηγούμενη κλήρωση, οι παιγμένες στήλες ήταν κάτι παραπάνω απο 1εκ., δλδ τουλάχιστον 23εκ δεν παίχτηκαν καθόλου! Κι αυτές που παίχτηκαν, τι κατανομή νομίζεις πως θα ακολούθησαν; Την ομοιόμορφη; Κι ο τύπος του μπακάλη, που βασίζεται στην ομοιόμορφη, με τι κατανομή θα έβγαλε την πιθανότητα; Την ομοιόμορφη; Δε νομίζω, και οι 2 κανονικές είναι. Βάλε ας πούμε έναν RNG να σου παίξει 1 εκ νούμερα από το 1-24εκ και κάνε plot: κανονική κατανομή θα δεις, και όχι ομοιόμορφη.

Με 24 εκ πιθανά ενδεχόμενα, πόσες ρίψεις ή στήλες πρέπει να παιχτούν για να δεις διαφορά στο μοντέλο της τυχαιότητας που χρησιμοποιείς;

Δες τους τύπους όπως τους γράφω, και συ μπλέκεις την κατανομή της κληρωτίδας (τ.μ. x) με την κατανομή των παιξιμάτων των παιχτών.

Ο τύπος του μανάβη προυποθέτει όχι μόνο U(1,Ν) για την κληρωτίδα(δίκαιη κλήρωση) αλλά και U(1,Ν) για κάθε παίχτη(απουσία κάθε ίχνους συστήματος). Μιλάει κυριολεκτικά για άλλου είδους λοταρία, που δεν επιλέγει άνθρωπος τα νούμερα και επιτρέπονται διπλά δελτία.

[hellegennes]

Χε, τελικά κάτσε να δεις που ο μπακαλίστικος τύπος θα είναι και ο σωστός, και πρακτικά, δίνοντας τεράστια ακρίβεια στην πιθανότητα νίκης, μια τέτοια αίσθηση έχω μετά την τελευταία ανάλυσή μου!

Δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσεις κατά πόσο ανταποκρίνεται στα πραγματικά αποτελέσματα. Από το 2003 ως σήμερα έχουν υπάρξει 566 νικητές στην κατηγορία 5+1. Μάντεψε πόσοι νικητές αναμένονται βάσει αυτού του τύπου.

[nik_killthemall]

Μην βιαζεσαι ρε : Όπως εγραψα όταν οι παιγμενες στηλες ειναι της ταξεως των 5εκ στηλων και ο καθε παιχτης παιζει απο 1 ως 7 διαφορετικες στηλες ΤΟΤΕ πραγματι η διαφορα των δυο τυπων ειναι μηδαμινη ! Και μπορει πραγματι ο τυπος του μαναβη να χρησιμοποιηθει ως ακριβεστατη προσεγγιση της ισοπιθανης εκδοχης !

Ο ένας είναι ο τύπος του μανάβη, ο άλλος ποιος είναι;

Με 48 εκατομμύρια παιγμένες στήλες (από 24435180 που είναι δυνατό να παιχτούν) η πιθανότητα να υπάρχει νικητής με τον τύπο του μπακάλη, είναι 86%.

Τωρα, διατηρωντας τη δυνατοτητα σε καθε παιχτη να παιζει απο 1 ως 7 στηλες, αποδιδοντας ραντομ αυτο το πληθος απο 1 ως 7 στηλες σε καθε παιχτη, τρεχοντας παλι τη μακροεντολη (*) βλεπουμε :

- Οταν οι παιγμενες στηλες ειναι 48 εκ τοτε ΠΡΟΦΑΝΩΣ οι δυο τυποι διαφέρουν ! Και διαφερουν κατα 2 ποσοστιαιες μοναδες ! και ο σωστος υπολογισμος δεν ειναι του μπακαλη !

- Το ιδιο συμβαινει αν παιχτουν 24 εκ στηλες, τοτε οι δυο τυποι διαφερουν κατα 1 ποσοστιαια μοναδα ! Και παλι λαθος ειναι ο τυπος του μπακαλη !

- Η διαφορα στο πρωτο δεκαδικο ψηφιο της ποσοστιαιας πιθανοτητας ξεκινα απο τις 17 εκ παιγμενες στηλες και πανω !

Με λιγα ο τυπος του μπακαλη προσεγγιζει με ακριβεια την πραγματικοτητα σε ισοπιθανη εκδοχη, ΜΟΝΟ οταν οι παιγμενες στηλες ειναι μεχρι 10-15 εκ ! Για παραπανω παιγμενες στηλες ο τυπος του μπακαλη υπολογιζει πιθανοτητες στις οποιες εκατομμυρια παιχτων συμπληρωνουν ιδιες στηλες με τον εαυτο τους !

(*) Μλκια δεν εσωσα την μακροεντολη και καθομουνα και την ξαναφτιαχνα

Η ισοπίθανη εκδοχή ποιανών πραγμάτων;

Ο αλλος τυπος ειναι αυτος που εγραψα στο προηγουμενο μηνυμα μου, δηλ αυτος που θεωρει ανεξαρτητους παιχτες και οχι ανεξαρτητες στηλες δεδομενου οτι δεν θα παιζουνε οι παικτες ιδιες στηλες στο ιδιο δελτιο στην ιδια κληρωση :

Παντως οι τυποι :

- ανεξαρτητες στηλες (1-1/ν)^m και

- ανεξαρτητοι παιχτες Π(1-ci/ν),i=1,k, Σci=m, ci διαφορετικες στηλες του i παιχτη

Με 48 εκ παιγμενες στηλες και ραντομ μοιρασμα στους παικτες απο 1 ως 7 στηλες στον καθε παιχτη ωστε το συνολο των στηλων να διατηρειται ιδιο (δηλ. 48 εκ) ο τυπος με ανεξαρτητους παικτες βγαζει 87,9% πιθανοτητα νικητη ενω οντως ο πρωτος βγαζει 86% πιθανοτητα νικητη οπως λες, αρα εχεις διαφορα 2 ποσοστιαιες μοναδες.
1 ως 7 στηλες ανα παικτη σημαινει πως κατα μεσο ορο ο καθε παικτης θα παιζει 3 με 4 στηλες. Δεν εχω προλαβει να κανω δοκιμες αλλαζοντας το ευρος στηλων / παικτη.

ισοπιθανη εκδοχη = ιση πιθανοτητα ο καθε παιχτης να παιξει οποιοδηποτε συνδυασμο εκ των 24 εκ. Με βαση αυτο ισχυουν και οι 2 παραπανω τυποι.

Με τον κριμσον και ισως τον πουσικατ (δεν εχω καταλαβει καθαρα) λεμε πως στη πραγματικοτητα δεν εχουν οι παιγμενες στηλες τετοια ομοιομορφη κατανομη, καποιοι συνδυασμοι εχουν μεγαλυτερη πιθανοτητα να παιχτουν.

[nik_killthemall]

Νομίζω το θέμα είναι πως με μικρό δείγμα, όπου δείγμα = ν = το πλήθος των στηλών που παίχτηκαν, οποιαδήποτε τυχαιότητα θα δίνει κατανομή παρόμοια με την κανονική, ακόμα και αν η "πηγή" της τυχαιότητας είναι η ομοιόμορφη. Είναι σαν να περιμένεις να δεις ομοιόμορφη κατανομή σε 10 ρίψεις ζαριού, μπα, την κανονική θα δεις.

Στην προηγούμενη κλήρωση, οι παιγμένες στήλες ήταν κάτι παραπάνω απο 1εκ., δλδ τουλάχιστον 23εκ δεν παίχτηκαν καθόλου! Κι αυτές που παίχτηκαν, τι κατανομή νομίζεις πως θα ακολούθησαν; Την ομοιόμορφη; Κι ο τύπος του μπακάλη, που βασίζεται στην ομοιόμορφη, με τι κατανομή θα έβγαλε την πιθανότητα; Την ομοιόμορφη; Δε νομίζω, και οι 2 κανονικές είναι. Βάλε ας πούμε έναν RNG να σου παίξει 1 εκ νούμερα από το 1-24εκ και κάνε plot: κανονική κατανομή θα δεις, και όχι ομοιόμορφη.

Με 24 εκ πιθανά ενδεχόμενα, πόσες ρίψεις ή στήλες πρέπει να παιχτούν για να δεις διαφορά στο μοντέλο της τυχαιότητας που χρησιμοποιείς;

Δες τους τύπους όπως τους γράφω, και συ μπλέκεις την κατανομή της κληρωτίδας (τ.μ. x) με την κατανομή των παιξιμάτων των παιχτών.

Ο τύπος του μανάβη προυποθέτει όχι μόνο U(1,Ν) για την κληρωτίδα(δίκαιη κλήρωση) αλλά και U(1,Ν) για κάθε παίχτη(απουσία κάθε ίχνους συστήματος). Μιλάει κυριολεκτικά για άλλου είδους λοταρία, που δεν επιλέγει άνθρωπος τα νούμερα και επιτρέπονται διπλά δελτία.

ακριβως ! Σα να πηγαινεις σε ενα μηχανημα να πατας κουμπι και να σου βγαζει τυχαια 1,2,3 κλπ 6αδες αριθμων για το δελτιο σου. Και τυχαια σημαινει οτι οντως μπορει να βγαλει ιδιες 6αδες και καθε ειδους πατερν, αριθμητικο ή γεωμετρικο στο δελτιο.

[Ανίκητος]

1. Ανεξάρτητη επιλογή κάθε αριθμού στην στήλη. Επεξήγηση/Παράδειγμα: Το τι παίζει ένας παίκτης δεύτερο αριθμό είναι ανεξάρτητο του τι έπαιξε πρώτο. Που χρειάζεται: Αν θες να υποστηρίξεις ότι οι παίκτες παίζουν με ομοιόμορφη κατανομή, αυτό είναι αναγκαία αλλά όχι επαρκής συνθήκη. Διαφωνώ εγώ: ΝΑΙ

Δεν έχω ασχοληθεί καθόλου με αυτή την περίπτωση (πέρα από το να πω κάτι βλακείες με καρδούλες και σχηματάκια πάνω στο δελτίο).
Το πώς προκύπτει η απόφαση του παίκτη για τον κάθε αριθμό στην στήλη, στατιστικά μπορείς να το διευρευνήσεις, αλλά δεν έχεις δεδομένα.

Συμφωνώ ότι δεν μπορείς a priori να πάρεις ομοιόμορφη. Αλλά μπορείς να βρεις τους δυνατούς τρόπους επιλογής αριθμών για μια στήλη:
45*44*43*42*41*20=2_932_221_600
οι οποίοι δεν είναι ισοπίθανοι. Αλλά κάνουν το πρόβλημα πολύ πιο επίπονο.

2. Ανεξάρτητα παιξίματα εντός του συνόλου των στηλών που παίζει ο ίδιος παίκτης. Επεξήγηση/Παράδειγμα: Το τι παίζει ένας παίκτης δεύτερη στήλη είναι ανεξάρτητο του τι έπαιξε πρώτη στήλη. Που χρειάζεται: Αν θες να σπάσεις την από κοινού πιθανότητα P(στήλη_1, στήλη_2) σε P(στήλη_1)*P(στήλη_2), όταν στήλη_1,στήλη_2 ανοίκουν στον ίδιο παίκτη. Διαφωνώ εγώ: Ναι, αλλά για χάριν της συζήτησης, έστω πως όχι. Αυτή η ανεξαρτησία δεν θα επηρεάσει τόσο πολύ το αποτέλεσμα, αν και παραμένει "κουφό" να λέμε ότι:

Α. ΘΑ υπάρχουν παίκτες που εντελώς κατά τύχη θα παίξουν πολλές φορές την ίδια στήλη. Πρόσεξε, η ανεξαρτησία δεν σημαίνει ότι θα υπάρχουν κάποιοι τρελοί οι οποίοι επί τούτου θα παίξουν δυό φορές την ίδια στήλη, αλλά ότι τελείως τυχαία αυτό θα συμβεί σε κάποιους. Τον αναμενόμενο αριθμό τους μπορείς να τον βρεις με προσέγγιση με κατανομή Poisson, θεωρώντας "συγκρούσεις" τις ίδιες στήλες. Αυτό σου είπα κάποιες σελίδες πίσω.
Β. ΔΕΝ ΘΑ υπάρχουν παίκτες που παίζουν συνδεδεμένες στήλες μεταξύ τους, έστω στην πιο απλή μορφή βεβαιώνοντας ότι οι στήλες δεν είναι ίδιες μεταξύ τους.

Εδώ θέλει πολλή συζήτηση, γιατί υπάρχουν πολλοί παράγοντες.

Σε αυτό το ποστ θα αρκεστώ σε έναν: υπάρχουν τα "πλήρη" και "τυποποιημένα συστήματα" στο τζόκερ. Στα μεν ο παίκτης μπορεί να επιλέξει παραπάνω αριθμούς από το 5+1 (π.χ 7 από 45 και 2 τζόκερ) για να υποβάλλει περισσότερες στήλες (άρα πάμε σε παραπάνω από 3 δις δυνατούς τρόπους επιλογής αριθμών). Τα τυποποιημένα είναι στην ουσία προκαθορισμένες στήλες από τον ΟΠΑΠ. Αυτά εκ προοιμίου σχηματίζουν στήλες, οι οποίες είναι διακριτές και μη-ανεξάρτητες. Επίσης απομακρύνουν εντελώς την παραδοχή 1 παίκτης = 1 στήλη. Συν η απόφαση του παίκτη, πριν από το στάδιο επιλογής αριθμών, αν θα παίξει "σύστημα" ή μεμονωμένες στήλες σε κάθε δελτίο...

Με τι τρόπο θα τα προσεγγίσεις αυτά;

Είναι τελείως αποτρεπτικό να ασχοληθείς με τους παίκτες.

3. Ανεξάρτητα παιξίματα μεταξύ παικτών. Επεξήγηση/Παράδειγμα: Το τι παίζει κάθε παίκτης είναι ανεξάρτητο του τι παίζουν οι άλλοι. Που χρειάζεται: Αν θες να σπάσεις την από κοινού πιθανότητα P(στήλη_1, στήλη_2, στήλη_3, στήλη_4) σε P(στήλη_1, στήλη_2) * P(στήλη_3, στήλη_4) όπου ο παίκτης 1 έπαιξε τις στήλες 1,2 και ο παίκτης 2 τις στήλες 3,4. Διαφωνώ εγώ: Όχι, είμαι θετικός στην υπόθεση ότι οι παίκτες είναι ανοργάνωτοι και δρουν ως μονάδες, αν και είμαι σίγουρος ότι σε μικρό βαθμό αυτό παραβιάζεται του στυλ σε ένα ζευγάρι κοιτάνε να μην παίξουν το ίδιο.

Εδώ συμβαίνουν οι ενδιαφέρουσες "συγκρούσεις" που οδηγούν σε επαναλαμβανόμενες στήλες στη συγκεντρωτική λίστα με όλα τα παιξίματα. Ποια παράμετρο να βάλω στην Poisson;

Έστω λοιπόν ότι κάνουμε τις παραδοχές 2 και 3. Ας δούμε τι σημαίνει μαθηματικά αυτό. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, και εν αρμονία με την παραδοχή 2, θα θ ονομάσω 1 παίκτης = 1 στήλη στην κλήρωση. (Για να είναι πιο σύντομοι οι συμβολισμοί, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα απλά θα προσθέταμε κι άλλους δείκτες).

Η υπόθεση 1 παίκτης = 1 στήλη δεν κάνει πιο εύκολη την ανάλυση. Ορίζεις το S να είναι το πλήθος των παικτών και των παιγμένων στηλών ταυτόχρονα. Μόνο που η πληροφορία των παιγμένων στηλών είναι γνωστή από τη δημοσίευση του διοργανωτή ΟΠΑΠ και έτσι είναι δεδομένο ότι ο αριθμός των παικτών δεν ταυτίζεται με αυτόν.

Παραγνωρίζοντας αυτό το δεδομένο, καταδικάζεις όλη την υπόλοιπη ανάλυση! Δεν μπορείς να πάρεις S παίκτες και ξ_1,..., ξ_S τυχαίες μεταβλητές και να πάρεις σωστά αποτελέσματα. Ο αριθμός των παικτών είναι κι αυτή τυχαία μεταβλητή.

Για τα υπόλοιπα θα τοποθετηθώ αργότερα, σε πρώτη ανάγνωση εντάξει φαίνονται (πέρα από καναδυό τυπογραφικά).

Η δική μου παραδοχή χωρίζει το παιχνίδι σε δυο φάσεις, της συμμετοχής που συγκεντρώνονται οι στήλες και της κλήρωσης.
Ανίκητος @ Τα τυχερά παιχνίδια είναι στημένα

Οπότε δεν ασχολούμαι με τη φάση της συμμετοχής, αλλά την συμπυκνώνω στη λίστα των συγκεντρωμένων στηλών, και μπορώ να την βάλω αργότερα να ακολουθεί κάποια κατανομή με άλλη prior Φ από την ομοιόμορφη. Δεν χρειάζεται να παιδεύομαι με τόσες Φ_i όσοι κι οι παίκτες που πρέπει να είναι και όσες οι στήλες...

Μέχρι τότε όμως, ας αναλύσω σωστά τη φάση της κλήρωσης...