Is pi a rational number ;

[foscilis]

Όλοι λένε ότι δεν είναι.
Αλλά γιατί δεν είναι ;
Άμα υπάρχουν δύο ακέραιοι Μ και Ν με άπειρα ψηφία τέτοιοι ώστε Μ / Ν = π ;
Πειράζει που θα έχουν άπειρα ψηφία ;

Δεν υπάρχει ακέραιος με άπειρα ψηφία.

[wooded glade]

Όλοι λένε ότι δεν είναι.
Αλλά γιατί δεν είναι ;
Άμα υπάρχουν δύο ακέραιοι Μ και Ν με άπειρα ψηφία τέτοιοι ώστε Μ / Ν = π ;
Πειράζει που θα έχουν άπειρα ψηφία ;

Δεν υπάρχει ακέραιος με άπειρα ψηφία.

Άπειροι.

[wooded glade]

[foscilis]

άλλο "υπάρχει ακέραιος με όσα ψηφία θες -έστω n- και n μπορεί να τείνει στο άπειρο", άλλο "υπάρχει ακέραιος με άπειρα ψηφία".

[nik_killthemall]

άλλο "υπάρχει ακέραιος με όσα ψηφία θες -έστω n- και n μπορεί να τείνει στο άπειρο", άλλο "υπάρχει ακέραιος με άπειρα ψηφία".

Αυτό ακριβώς, τα απειρα ψηφια δεν ειναι μονοσημαντο πληθος ψηφιων, αλλα ενα οριο ν ψηφιων με ν τεινει απειρο. Αλλο πράγμα ο μονοσημαντος αριθμος και αλλο πράγμα το οριο που αποκαλούμε απειρο.

[taxalata xalasa]

...το απειρο ειναι ισον με το ενα...

ολοι οι αριθμοι τεινουν στο 1.

[foscilis]

Το 3 δεν τείνει καθόλου στο 1. Ούτε το 12 ή το -50 ή το 0.08. Κανένας αριθμός δεν τείνει πουθενά.

[taxalata xalasa]

Το 3 δεν τείνει καθόλου στο 1. Ούτε το 12 ή το -50 ή το 0.08. Κανένας αριθμός δεν τείνει πουθενά.

ποιο 3 ;

δεν υπαρχει το 3.

υπαρχει το 0,0...∞3

3 απειροστικα τεμαχια ως υποδιαρεσεις του 1

το -50 ειναι ανυπαρκτο στον φυσικο κοσμο. Υπαρχει μονο θεωρητικα στο μυαλο μας για να κανουμε λογαριασμους για δανεικα που δινουμε και μαζευουμε τους τοκους.....

ολα τεινουν ασταματητα και απεπερασμενα στο 1

θετε δεν θετε

[Bill Hicks]

Όλοι λένε ότι δεν είναι.
Αλλά γιατί δεν είναι ;
Άμα υπάρχουν δύο ακέραιοι Μ και Ν με άπειρα ψηφία τέτοιοι ώστε Μ / Ν = π ;
Πειράζει που θα έχουν άπειρα ψηφία ;

διότι δεν υπάρχουν οι δύο ακέραιοι Μ και Ν όσο άπειρα κι αν είναι τα ψηφία. εδώ έχει μια απόδειξη με εις άτοπον απαγωγή, αλλά ομολογώ ότι δεν μπόρεσα να καταλάβω ακριβώς πώς βγαίνει το τελευταίο και τα παράτησα.

μόνο ο μπούστης ο nik_killthemall θυμάται ή χρησιμοποιεί ανάλυση επαρκώς, μπας και μάς διαφωτίσει.

[Ζενίθεδρος]

Το π δεν είναι απλά άρρητος, αλλά υπερβατικός αριθμός, τουτέστιν δεν μπορεί να είναι λύση πολυωνυμικής εξίσωσης πεπερασμένου βαθμού. Ισχύει ότι κάθε υπερβατικός αριθμός είναι και άρρητος, αλλά όχι αντιστρόφως, γιατί π.χ. η τετραγωνική ρίζα του 2 ειναι άρρητος, αλλά όχι υπερβατικός. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει πως μπορεί να κατασκευαστεί με γνώμονα και διαβήτη, με έναν πεπερασμένο αριθμό κινήσεων. Εσύ τώρα μας λες πως ένας υπερβατικός μπορεί να είναι ρητός;

[nik_killthemall]

Όλοι λένε ότι δεν είναι.
Αλλά γιατί δεν είναι ;
Άμα υπάρχουν δύο ακέραιοι Μ και Ν με άπειρα ψηφία τέτοιοι ώστε Μ / Ν = π ;
Πειράζει που θα έχουν άπειρα ψηφία ;

διότι δεν υπάρχουν οι δύο ακέραιοι Μ και Ν όσο άπειρα κι αν είναι τα ψηφία. εδώ έχει μια απόδειξη με εις άτοπον απαγωγή, αλλά ομολογώ ότι δεν μπόρεσα να καταλάβω ακριβώς πώς βγαίνει το τελευταίο και τα παράτησα.

μόνο ο μπούστης ο nik_killthemall θυμάται ή χρησιμοποιεί ανάλυση επαρκώς, μπας και μάς διαφωτίσει.

τη τελευταια ανισοτητα οση ωρα και να τη κοιταω δεν καταλαβαινω πως σκατα βγαινει.

Αν καταλαβαινω καλα δεχομενος πως π=α/β = ρητος, υπολογιζει το ολοκληρωμα μεταξυ 0 και π μιας συναρτησης, το οποιο ολοκληρωμα βγαινει θετικος ακεραιος (4nb) και μαλιστα τεινει στο απειρο καθως το n τεινει στο απειρο !

Στη συνεχεια φρασει την ιδια συναρτηση (το πως δεν το πιανω) και λεει πως καθως το n τεινει απειρο η συναρτηση μηδενιζεται, αρα ατοπο καθως το ολοκληρωμα συναρτησης που τεινει στο μηδεν, εχει ολοκληρωμα που τεινει στο απειρο.

[nick]

Το π δεν είναι απλά άρρητος, αλλά υπερβατικός αριθμός, τουτέστιν δεν μπορεί να είναι λύση πολυωνυμικής εξίσωσης πεπερασμένου βαθμού. Ισχύει ότι κάθε υπερβατικός αριθμός είναι και άρρητος, αλλά όχι αντιστρόφως, γιατί π.χ. η τετραγωνική ρίζα του 2 ειναι άρρητος, αλλά όχι υπερβατικός. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει πως μπορεί να κατασκευαστεί με γνώμονα και διαβήτη, με έναν πεπερασμένο αριθμό κινήσεων. Εσύ τώρα μας λες πως ένας υπερβατικός μπορεί να είναι ρητός;

Το π ειναι λυση του πολυωνυμου
x-π=0

Μαλλον δεν είναι λυση πολυώνυμου με μονο ρητούς συντελεστες.

[Ζενίθεδρος]

Το π δεν είναι απλά άρρητος, αλλά υπερβατικός αριθμός, τουτέστιν δεν μπορεί να είναι λύση πολυωνυμικής εξίσωσης πεπερασμένου βαθμού. Ισχύει ότι κάθε υπερβατικός αριθμός είναι και άρρητος, αλλά όχι αντιστρόφως, γιατί π.χ. η τετραγωνική ρίζα του 2 ειναι άρρητος, αλλά όχι υπερβατικός. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει πως μπορεί να κατασκευαστεί με γνώμονα και διαβήτη, με έναν πεπερασμένο αριθμό κινήσεων. Εσύ τώρα μας λες πως ένας υπερβατικός μπορεί να είναι ρητός;

Το π ειναι λυση του πολυωνυμου
x-π=0

Μαλλον δεν είναι λυση πολυώνυμου με μονο ρητούς συντελεστες.

Ακέραιους συντελεστές πρέπει να έχει.

[Bill Hicks]

Όλοι λένε ότι δεν είναι.
Αλλά γιατί δεν είναι ;
Άμα υπάρχουν δύο ακέραιοι Μ και Ν με άπειρα ψηφία τέτοιοι ώστε Μ / Ν = π ;
Πειράζει που θα έχουν άπειρα ψηφία ;

διότι δεν υπάρχουν οι δύο ακέραιοι Μ και Ν όσο άπειρα κι αν είναι τα ψηφία. εδώ έχει μια απόδειξη με εις άτοπον απαγωγή, αλλά ομολογώ ότι δεν μπόρεσα να καταλάβω ακριβώς πώς βγαίνει το τελευταίο και τα παράτησα.

μόνο ο μπούστης ο nik_killthemall θυμάται ή χρησιμοποιεί ανάλυση επαρκώς, μπας και μάς διαφωτίσει.

τη τελευταια ανισοτητα οση ωρα και να τη κοιταω δεν καταλαβαινω πως σκατα βγαινει.

Αν καταλαβαινω καλα δεχομενος πως π=α/β = ρητος, υπολογιζει το ολοκληρωμα μεταξυ 0 και π μιας συναρτησης, το οποιο ολοκληρωμα βγαινει θετικος ακεραιος (4nb) και μαλιστα τεινει στο απειρο καθως το n τεινει στο απειρο !

Στη συνεχεια φρασει την ιδια συναρτηση (το πως δεν το πιανω) και λεει πως καθως το n τεινει απειρο η συναρτηση μηδενιζεται, αρα ατοπο καθως το ολοκληρωμα συναρτησης που τεινει στο μηδεν, εχει ολοκληρωμα που τεινει στο απειρο.

tx nik με βοήθησες να ξεκολλήσω!

το πⁿαⁿ/n! είναι το μέγιστo ύψος/τιμή τής f(x)sin(x) και φράσει την συνάρτηση, όπως το μέγιστο εμβαδόν φράσει το ολοκληρωμα. το πⁿαⁿ/n!, οπότε και η συνάρτηση, τείνει στο μηδέν όταν το n! τείνει στο άπειρο.

για 0<χ<π
χⁿ<πⁿ
(a-bx)ⁿ<αⁿ
sin(x)<1

=> 0<f(x)sin(x)<πⁿαⁿ/n! => άτοπο

[stavmanr]

Δεν ξέρω αν το π είναι rational αλλά οι μαθηματικοί σίγουρα όχι.