Τα τυχερά παιχνίδια είναι στημένα

[Ανίκητος]

Σε έναν αριθμό 48 εκατομμυρίων στηλών, το 43% θα εμφανίζονται πάνω από μια φορά, δηλαδή μόνο οι 21 εκατομμύρια είναι μοναδικές.

γραφεις κατι μπερδεμένο εδώ, ή έχεις μπλεξει λιγο τα νουμερα;

Να ρωτησω κατι, τι ακριβως εμποδιζει σε 48 εκ στηλες τα 47 εκ στηλες να εχουν παιχτει απο εναν και να ειναι και τα 47 εκ ΙΔΙΕΣ στηλες ? Απαγορευει το τζοκερ να συμπληρωσεις δελτιο με ιδιες στηλες ?

Και εσύ σαν άλλος παίκτης, από πού θα το ξέρεις ότι ένας παίκτης έπαιξε 47 εκατομμύρια φορές την ίδια στήλη, ή αν έπαιξε 24 εκατομμύρια διαφορετικές μεταξύ τους στήλες; Προηγουμένως κατηγορούσες τον Hellegennes ότι κακώς υπολογίζει την πιθανότητα να βρεθεί νικητής αν ξέρουμε από πριν πόσες στήλες θα παιχτούν.

Όλη η πληροφορία για το πόσες και ποιες στήλες έπαιξε κάθε παίκτης, συγκεντρώνεται στους διοργανωτές. Αν διαρρεύσει μέρος αυτής της πληροφορίας σε άλλους παίκτες, τότε αποκτούν και εκείνοι γνώση, ώστε να αλλάξουν το δικό τους τρόπο που θα παίξουν και άρα να στήσουν διαφορετικά εκείνοι το παιχνίδι, ανεξάρτητα από τους διοργανωτές.

Οι διοργανωτές έχουν την πληροφορία για τα δελτία (παίκτες, στήλες) και ελέγχουν και την κληρωτίδα, που σημαίνει ότι έχουν πολύ μεγαλύτερες δυνατότητες για να εξαπατήσουν όλους τους παίκτες. Το θέμα του νήματος είναι με ποιους τρόπους μπορούν να το κάνουν αυτό και πώς μπορείς να το βρεις με τις πιθανότητες.

Δεν νομίζω ότι θα βοηθήσουν οι θεωρητικές ακροβασίες, όπου στέλνεις τις συνθήκες του πραγματικού παιχνιδιού, από την πλευρά των παικτών, στα άκρα για να κατασκευάσεις πιθανότητες που δεν θα ισχύουν. Στην ουσία στήνεις τους παίκτες και τις στήλες που παίζουν.

[nik_killthemall]

Δεν απαγορεύει αλλά σε όλες τις προσεγγίσεις θεωρούμε ότι οι στήλες είναι τυχαία συμπληρωμένες αλλιώς δεν γίνεται να βγάλουμε κάποιο αποτέλεσμα. Η τυχαιότητα των στηλών είναι και μία καλή προσέγγιση της πραγματικότητας και το ποσοστό των στηλών που θα έχουν παιχτεί πάνω από μία φορά ή που δεν θα έχουν παιχτεί καθόλου μπορεί να υπολογιστεί στο περίπου, αυτό κάνουμε εδώ. Αλλιώς θα μπορούσε να πει κάποιος ότι όλες οι στήλες σε μία συγκεκριμένη κλήρωση είναι ακριβώς ίδιες, έχει παίξει μόνο ένας τύπος και έχει παίξει 5 εκατομμύρια φορές την ίδια στήλη. Προφανώς αυτό δεν θα συμφωνούσε όμως με τη συχνότητα εύρεσης νικητών που βλέπουμε στην πράξη.

Αν τώρα είχαμε μία λεπτομερή κατανομή των συγκεκριμένων στηλών σε μεγάλο αριθμό κληρώσεων μπορεί να παρατηρούσαμε ότι κάποιες στήλες είναι πιο πιθανό να παιχτούν από άλλες. Επειδή για παράδειγμα πολλοί παίζουν ημερομηνίες ως νούμερα, πιθανόν οι αριθμοί κάτω από 31 να εμφανίζονται πιο συχνά. Αλλα τέτοιες περιπτώσεις στις οποίες η κατανομή των στηλών δεν είναι τυχαία είναι προφανώς πολύ δύσκολο να υπολογιστούν

Μαν τυχαιο ενδεχομενο που καταλαμβανει πιθανοτητα ειναι και αυτο που γραφω. Τωρα εσυ λες πως στη πραγματικοτητα καποια ενδεχομενα εχουν μικρη πιθανοτητα να συμβουν και καποια μεγαλυτερη, δεκτο αλλα δεν θεωρεις ισοπιθανα ενδεχομενα ! Αρα αλλαζεις προσεγγιση, δηλ. υιοθετεις καποια κατανομη στην πιθανοτητα των ενδεχομενων !

Ολο το φιασκο εδω ειναι οτι υπολογιζεις πιθανοτητες γνωριζοντας απο πριν ποσες στηλες θα παιχτουν ΠΡΙΝ παιχτουν, χωρις να γνωριζεις απο πριν ποσες απο αυτες θα ειναι διπλες. Αυτο ειναι αλλο παιγνιο ομως, δεν ειναι τζοκερ !

[nik_killthemall]

γραφεις κατι μπερδεμένο εδώ, ή έχεις μπλεξει λιγο τα νουμερα;

Να ρωτησω κατι, τι ακριβως εμποδιζει σε 48 εκ στηλες τα 47 εκ στηλες να εχουν παιχτει απο εναν και να ειναι και τα 47 εκ ΙΔΙΕΣ στηλες ? Απαγορευει το τζοκερ να συμπληρωσεις δελτιο με ιδιες στηλες ?

Και εσύ σαν άλλος παίκτης, από πού θα το ξέρεις ότι ένας παίκτης έπαιξε 47 εκατομμύρια φορές την ίδια στήλη, ή αν έπαιξε 24 εκατομμύρια διαφορετικές μεταξύ τους στήλες; Προηγουμένως κατηγορούσες τον Hellegennes ότι κακώς υπολογίζει την πιθανότητα να βρεθεί νικητής αν ξέρουμε από πριν πόσες στήλες θα παιχτούν.

Δεν ειπα πουθενα οτι το γνωριζω ! Ειπα οτι ειναι ενα ακομη ενδεχομενο ακριβως ιδιας βαρυτητας με ολα τα υπολοιπα ενδεχομενα.

[Ανίκητος]

Δεν ειπα πουθενα οτι το γνωριζω ! Ειπα οτι ειναι ενα ακομη ενδεχομενο ακριβως ιδιας βαρυτητας με ολα τα υπολοιπα ενδεχομενα.

Με δουλεύεις τώρα, αφού πας και υπολογίζεις τις πιθανότητες με βάση αυτή την πληροφορία για να διαφωνήσεις με τον Hellegennes που τις υπολογίζει χωρίς αυτή.

Και "ενδεχόμενο ακριβώς ίδιας βαρύτητας" δεν σημαίνει τίποτα, μας πληροφορεί για ημιμάθεια του εκστομίζοντος.

[micmic]

Ολο το φιασκο εδω ειναι οτι υπολογιζεις πιθανοτητες γνωριζοντας απο πριν ποσες στηλες θα παιχτουν ΠΡΙΝ παιχτουν, χωρις να γνωριζεις απο πριν ποσες απο αυτες θα ειναι διπλες. Αυτο ειναι αλλο παιγνιο ομως, δεν ειναι τζοκερ !

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε μία πιθανότητα εύρεσης νικήτριας στήλης, προφανώς και πρέπει να το κάνουμε με έναν συγκεκριμένο αριθμό στηλών, πχ τον μέσο όρο των στηλών που παίζονται την τελευταία χρονιά. Αλλιώς δεν έχει κανένα απολύτως νόημα, διότι οι πιθανότητες μπορεί να κυμαίνονται από 0% (στην απίθανη περίπτωση που δεν παιχτεί καμμία στήλη) έως 100% (στην απίθανη περίπτωση που κάποιος θα παίξει όλες τις δυνατές στήλες).

Με λίγα λόγια, δεν είναι δυνατόν να κάνεις υπολογισμό πιθανότητας εύρεσης τουλάχιστον μίας νικήτριας στήλης χωρίς να βάλεις στον υπολογισμό για πόσες στήλες μιλάς. Άλλες οι πιθανότητες αν έχουν παιχτεί 500 στήλες, άλλες αν έχουν παιχτεί 500.000.000 στήλες.

[nik_killthemall]

Δεν ειπα πουθενα οτι το γνωριζω ! Ειπα οτι ειναι ενα ακομη ενδεχομενο ακριβως ιδιας βαρυτητας με ολα τα υπολοιπα ενδεχομενα.

Με δουλεύεις τώρα, αφού πας και υπολογίζεις τις πιθανότητες με βάση αυτή την πληροφορία για να διαφωνήσεις με τον Hellegennes που τις υπολογίζει χωρίς αυτή.

Οχι μαν δεν υπολογιζω καμια πιθανοτητα σε κανενα παιγνιο που γνωριζω απο πριν ποσες στηλες θα παιχτουν. Υπολογιζω πιθανοτητα ΑΦΟΥ οι στηλες παιχτουν !

Δεν ξερω γιατι μπερδευεσαι αλλα το μονο πραγμα που λεω ειναι πως στην θεωρηση σας που γνωριζετε απο πριν ποσες στηλες θα παιχτουν, οι συνδυασμοι για τις διπλες στηλες ειναι ΟΛΟΙ ισοπιθανοι ΑΝ ΔΕΝ υιοθετηθει με την αναλογη τεκμηριωση μια συγκεκριμενη κατανομη πιθανοτητας !

Ισχυριζομαι οτι σε 48 εκ παιγμενες στηλες ενα ενδεχομενο (Α) ειναι οι 21 εκ να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 27 εκ διπλες, και ενα αλλο ενδεχομενο (Β) ειναι οι 1 εκ στηλες να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 47 εκ διπλες !

Δεν κανω κανεναν υπολογισμο πιθανοτητας, απλα αναγνωριζω ολα τα πιθανα ενδεχομενα και οτι ολα κατεχουν μια πιθανοτητα ! Εσυ τα αναγνωριζεις ολα ή θεωρεις πως ενδεχομενα σαν το (Β) δεν υπαρχουν ? Κι αν τα αναγνωριζεις ολα θεωρεις οτι το Β εχει μικροτερη πιθανοτητα απο το Α ? Αν ναι πως αυτη λαμβανεται μικροτερη στον υπολογισμο σας ?

[Garcia]

Ας ρωτήσουμε τον καθηλην αρμόδιο,Ελευθέριο Αργυρόπουλο,τον μάστερ των πιθανοτήτων.

[Crimson_2]

Αυτό που λέει ο Nik και γω είναι frequentist approach.

Αυτό που λέτε οι υπόλοιποι, είναι bayesian με prior την ομοιόμορφη κατανομή. Δηλαδή και παραπανω υπόθεση έχετε κάνει, και αφήνω τον καθένα να κρίνει κατά πόσον είναι η ομοιόμορφη η σωστή κατανομή για τους παιγμενους αριθμούς σε μια κλήρωση.

Ομοιόμορφη σημαίνει ότι θα παιχτεί το (9,9,9,9,9,9) με την ίδια πιθανότητα που θα παιχτεί η σούπερ ντουπερ στήλη που παίζει ο θείος που έχει σύστημα, και επίσης το ότι αν πάω και παίξω δύο φορές, υπάρχει μη-μηδενική πιθανότητα να παίξω τα ίδια νούμερα και τις δύο.

[nik_killthemall]

Ολο το φιασκο εδω ειναι οτι υπολογιζεις πιθανοτητες γνωριζοντας απο πριν ποσες στηλες θα παιχτουν ΠΡΙΝ παιχτουν, χωρις να γνωριζεις απο πριν ποσες απο αυτες θα ειναι διπλες. Αυτο ειναι αλλο παιγνιο ομως, δεν ειναι τζοκερ !

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε μία πιθανότητα εύρεσης νικήτριας στήλης, προφανώς και πρέπει να το κάνουμε με έναν συγκεκριμένο αριθμό στηλών, πχ τον μέσο όρο των στηλών που παίζονται την τελευταία χρονιά. Αλλιώς δεν έχει κανένα απολύτως νόημα, διότι οι πιθανότητες μπορεί να κυμαίνονται από 0% (στην απίθανη περίπτωση που δεν παιχτεί καμμία στήλη) έως 100% (στην απίθανη περίπτωση που κάποιος θα παίξει όλες τις δυνατές στήλες).

Με λίγα λόγια, δεν είναι δυνατόν να κάνεις υπολογισμό πιθανότητας εύρεσης τουλάχιστον μίας νικήτριας στήλης χωρίς να βάλεις στον υπολογισμό για πόσες στήλες μιλάς. Άλλες οι πιθανότητες αν έχουν παιχτεί 500 στήλες, άλλες αν έχουν παιχτεί 500.000.000 στήλες.

Καμια αντιρρηση αυτο το πρεπει ομως ισχυει και για τον συγκεκριμενο αριθμο διπλων στηλων που αυτες θα εχουν ! Ολο το αμφιλεγομενο του πραγματος ειναι η προταση που μολις εγραψα !

ή οι στηλες εχουν παιχτει και γνωριζουμε και το πληθος τους και τις διπλες απο αυτες ή δεν εχουν παιχτει και δεν γνωριζουμε ουτε το πληθος τους ουτε τις διπλες απο αυτες !

Αν υποθεσεις την εκ των πρωτερων γνωση του ενος μονο πραγματος π.χ. του πληθους των στηλων που θα παιχτουν αλλα οχι του αλλου, τοτε εχεις αλλαξει το παιγνιο.

[micmic]

Ισχυριζομαι οτι σε 48 εκ παιγμενες στηλες ενα ενδεχομενο (Α) ειναι οι 21 εκ να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 27 εκ διπλες, και ενα αλλο ενδεχομενο (Β) ειναι οι 1 εκ στηλες να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 47 εκ διπλες !

Δεν κανω κανεναν υπολογισμο πιθανοτητας, απλα αναγνωριζω ολα τα πιθανα ενδεχομενα ! Εσυ τα αναγνωριζεις ολα ή θεωρεις πως ενδεχομενα σαν το (Β) δεν υπαρχουν ?

Υπάρχουν, και η πιθανότητά τους έχει υπολογιστεί παραπάνω με τον τρόπο που έδωσα. Ένα πιο απλό πρόβλημα το οποίο μπορεί να επαληθευτεί και με μια απλή εφαρμογή javascript: Αν ρίξεις ένα ζάρι 6 φορές, τί ποσοστό των ζαριών θα είναι διπλές, τριπλές κτλ; Προφανώς αυτό ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΠΕΙΡΑΜΑ μπορεί να είναι από 0% (όλες οι ζαριές να είναι μοναδικές) έως 100% (αν ρίξεις συνέχεια το ίδιο νούμερο και θεωρήσουμε ότι και η πρώτη ριξιά πιάνεται στις διπλές, μια που επανεμφανίζεται μετά).

Αν λοιπόν 1.000.000 άνθρωποι κάνουν το ίδιο πείραμα (ή αν ένα πρόγραμμα το κάνει 1.000.000 φορές), το ποσοστό των διπλών θα τείνει προς μία σταθερή και υπολογίσιμη τιμή.

Το ίδιο έκανα και με τις στήλες του τζόκερ.

[micmic]

ή οι στηλες εχουν παιχτει και γνωριζουμε και το πληθος τους και τις διπλες απο αυτες ή δεν εχουν παιχτει και δεν γνωριζουμε ουτε το πληθος τους ουτε τις διπλες απο αυτες !

Αν δεν έχουν παιχτεί και δεν γνωρίζουμε το πλήθος τους, ούτε θέλουμε να πάρουμε κάποιο μέσο όρο παιχθέντων στηλών ως αριθμό αναφοράς, τότε δεν μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητα εύρεσης νικήτριας στήλης, δηλαδή και το δικό σου νούμερο είναι λάθος.

[nik_killthemall]

Ισχυριζομαι οτι σε 48 εκ παιγμενες στηλες ενα ενδεχομενο (Α) ειναι οι 21 εκ να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 27 εκ διπλες, και ενα αλλο ενδεχομενο (Β) ειναι οι 1 εκ στηλες να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 47 εκ διπλες !

Δεν κανω κανεναν υπολογισμο πιθανοτητας, απλα αναγνωριζω ολα τα πιθανα ενδεχομενα ! Εσυ τα αναγνωριζεις ολα ή θεωρεις πως ενδεχομενα σαν το (Β) δεν υπαρχουν ?

Υπάρχουν, και η πιθανότητά τους έχει υπολογιστεί παραπάνω με τον τρόπο που έδωσα. Ένα πιο απλό πρόβλημα το οποίο μπορεί να επαληθευτεί και με μια απλή εφαρμογή javascript: Αν ρίξεις ένα ζάρι 6 φορές, τί ποσοστό των ζαριών θα είναι διπλές, τριπλές κτλ; Προφανώς αυτό ΓΙΑ ΕΝΑ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΠΕΙΡΑΜΑ μπορεί να είναι από 0% (όλες οι ζαριές να είναι μοναδικές) έως 100% (αν ρίξεις συνέχεια το ίδιο νούμερο και θεωρήσουμε ότι και η πρώτη ριξιά πιάνεται στις διπλές, μια που επανεμφανίζεται μετά).

Αν λοιπόν 1.000.000 άνθρωποι κάνουν το ίδιο πείραμα (ή αν ένα πρόγραμμα το κάνει 1.000.000 φορές), το ποσοστό των διπλών θα τείνει προς μία σταθερή και υπολογίσιμη τιμή.

Το ίδιο έκανα και με τις στήλες του τζόκερ.

Μαζι σου και το εννοω, αλλα πως το εκανες, εχεις προσβαση στο ποιες ειναι οι στηλες οχι που κληρωθηκαν αλλα που παιχτηκαν στις τελευταιες 100-200 κληρωσεις ?

[nik_killthemall]

ή οι στηλες εχουν παιχτει και γνωριζουμε και το πληθος τους και τις διπλες απο αυτες ή δεν εχουν παιχτει και δεν γνωριζουμε ουτε το πληθος τους ουτε τις διπλες απο αυτες !

Αν δεν έχουν παιχτεί και δεν γνωρίζουμε το πλήθος τους, ούτε θέλουμε να πάρουμε κάποιο μέσο όρο παιχθέντων στηλών ως αριθμό αναφοράς, τότε δεν μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητα εύρεσης νικήτριας στήλης, δηλαδή και το δικό σου νούμερο είναι λάθος.

Σωστο και παλι το εννοω, αλλα ουδεποτε ισχυριστηκα πως θελω να υπολογισω πιθανοτητες νικητη ΠΡΙΝ παιχτουν οι στηλες ! Απο την αρχη διατεινομαι υπολογισμο πιθανοτητων αφου οι στηλες παιχτουν και γνωριζοντας το πληθος τους και τις διπλες εξ αυτων.

[Ανίκητος]

Με δουλεύεις τώρα, αφού πας και υπολογίζεις τις πιθανότητες με βάση αυτή την πληροφορία για να διαφωνήσεις με τον Hellegennes που τις υπολογίζει χωρίς αυτή.

Οχι μαν δεν υπολογιζω καμια πιθανοτητα σε κανενα παιγνιο που γνωριζω απο πριν ποσες στηλες θα παιχτουν. Υπολογιζω πιθανοτητα ΑΦΟΥ οι στηλες παιχτουν !

Στο τζόκερ, όταν όλοι οι παίκτες συμπληρώσουν όλα τα δελτία τους για μια συγκεκριμένη κλήρωση, ανακοινώνεται από τους διοργανωτές ο συνολικός αριθμός των στηλών που παίχτηκαν για αυτήν την κλήρωση, προτού γίνει η κλήρωση. Αυτό είναι κάτι που μπορείς να το γνωρίζεις.

Αν αποκρύψουν οι διοργανωτές αυτή την πληροφορία του συνολικού αριθμού των στηλών, η κλήρωση θεωρείται στημένη.

Δεν ξερω γιατι μπερδευεσαι αλλα το μονο πραγμα που λεω ειναι πως στην θεωρηση σας που γνωριζετε απο πριν ποσες στηλες θα παιχτουν, οι συνδυασμοι για τις διπλες στηλες ειναι ΟΛΟΙ ισοπιθανοι ΑΝ ΔΕΝ υιοθετηθει με την αναλογη τεκμηριωση μια συγκεκριμενη κατανομη πιθανοτητας !

Δεν μπερδεύομαι εγώ που διαβάζω αμφίσημα νοήματα και κακοδιατυπωμένα.
Η προσέγγιση των ενδεχομένων ως ισοπίθανα επειδή τάχα δεν ξέρεις κάτι περισσότερο για να αποδώσεις πιθανότητα (που ξέρεις) είναι εσφαλμένη.
Γνωρίζουμε αρκετά για το παιχνίδι από τους κανόνες του, ώστε να μην θεωρούμε ισοπίθανα τα ενδεχόμενά του.

Ισχυριζομαι οτι σε 48 εκ παιγμενες στηλες ενα ενδεχομενο (Α) ειναι οι 21 εκ να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 27 εκ διπλες, και ενα αλλο ενδεχομενο (Β) ειναι οι 1 εκ στηλες να ειναι μοναδικες και οι υπολοιπες 47 εκ διπλες !

Δεν κανω κανεναν υπολογισμο πιθανοτητας, απλα αναγνωριζω ολα τα πιθανα ενδεχομενα ! Εσυ τα αναγνωριζεις ολα ή θεωρεις πως ενδεχομενα σαν το (Β) δεν υπαρχουν ?

Οι 48 εκατομμύρια παιγμένες στήλες επιλέγονται από ένα σύνολο με 24.435.180 στοιχεία, επομένως είναι 48 εκατομμύρια επαναλήψεις της ίδιας τυχαίας επιλογής 1 από 24.435.180. Οι κατανομές πιθανότητας είναι συγκεκριμένες και τα Α και Β δεν έχουν ίδιες πιθανότητες.

[nik_killthemall]

Περναω στην ουσια :

Οι κατανομές πιθανότητας είναι συγκεκριμένες και τα Α και Β δεν έχουν ίδιες πιθανότητες.

Ωραια στον τροπο υπολογισμου που κανετε, με ποιον τροπο λαμβανετε οτι το Α εχει διαφορετικη πιθανοτητα απο το Β ? Αυτο ρωταω.

Στο τζόκερ, όταν όλοι οι παίκτες συμπληρώσουν όλα τα δελτία τους για μια συγκεκριμένη κλήρωση, ανακοινώνεται από τους διοργανωτές ο συνολικός αριθμός των στηλών που παίχτηκαν για αυτήν την κλήρωση, προτού γίνει η κλήρωση. Αυτό είναι κάτι που μπορείς να το γνωρίζεις.

Αν αποκρύψουν οι διοργανωτές αυτή την πληροφορία του συνολικού αριθμού των στηλών, η κλήρωση θεωρείται στημένη.

Αυτο δεν το γνωριζα νομιζα πως ο συνολικος αριθμος στηλων που παιχτηκαν δημοσιευεται μετα τη κληρωση. Αλλα δεν εχω λογο να αμφιβαλλω οτι δημοσιευεται πριν την κληρωση σε εκεινο το μισαωρο.

Σε εκεινο το μισαωρο λοιπον το ποσες πραγματικα ειναι διπλες στηλες ειναι αναμφισβητητο οσο ακριβως και το ποσες στηλες παιχτηκαν, απλα το πρωτο δεν το γνωριζουμε ενω το δευτερο το γνωριζουμε. Αρα σωστα συμπεριλαμβανεις υπολογισμο πιθανοτητων αγνοιας του ποσες ειναι οι διπλες στηλες.

Ωραια με ποιον τροπο κατανεμετε τη διαφορετικη πιθανοτητα στους διαφορετικους συνδυασμους διπλων στηλων ? Φαινεται καπου αυτο στον υπολογισμο που κανετε οτι ο συνδυασμος 4.999.999 ιδιες στηλες + 1 διαφορετικη εχει αλλη και πολυ μικροτερη πιθανοτητα απο τον συνδυασμο 4.999.998 διαφορετικες στηλες + 2 ιδιες ?