Τα τυχερά παιχνίδια είναι στημένα

[mao mao]

Αν παίξεις δύο ίδιες στήλες η πιθανότητα να μην κερδίσεις είναι ακριβώς η ίδια με το αν έπαιζες μόνο μία.

Φιλε εγω το ξερω, οι αλλοι κανουν οτι δεν το ξερουν.

Έχουμε ένα ζαρί και τρεις πχωρουμίτες. Ποντάρουν και οι τρεις κρυφά στο τι θα φέρει το ζάρι.

Ποια η πιθανότητα να μην πετύχει κανένας το αποτέλεσμα της ζαριάς ;

[nik_killthemall]

Ένα παιχνίδι του Τζόκερ, έχει δυο φάσεις. Μια φάση "συμμετοχής" που οι παίκτες υποβάλλουν τις στήλες τους και μια φάση "κλήρωσης" που προκύπτει μια πεντάδα και ένας αριθμός "τζόκερ". Ολοκληρώνεται η πρώτη φάση και ξεκινάει η δεύτερη.

Το απλό ενδεχόμενο του πειράματος τύχης της δεύτερης φάσης που λέγεται "κλήρωση" αποτελείται από μια πεντάδα αριθμών από το {1,...,45} και ένας αριθμός "τζόκερ" είναι ένας από τους {1,...,20}. Μου αρέσουν και τα σύμβολα, σ=({ν₁,ν₂,ν₃,ν₄,ν₅},ν₆)

Όμως το αποτέλεσμα της πρώτης φάσης της συμμετοχής, αυτό που είναι το απλό ενδεχόμενο, είναι ένα συγκεκριμένο σύνολο από "στήλες" Σ=(σ₁, σ₂,... , σ_i, ...) για το οποίο θεωρητικά είναι στοχαστικό ακόμη και το πότε περατώνεται, δηλαδή πιθανολογείται ακόμη και το πλήθος των στοιχείων του συνόλου, σε ένα παιχνίδι. Υπάρχει άλλη πιθανότητα μια συμμετοχή να έχει αποτέλεσμα 48 εκατομμύρια στήλες, άλλη πιθανότητα να έχει αποτέλεσμα 1 εκατομμύριο στήλες. Πόσο μάλλον που υπάρχουν πιθανότητες ενδεχομένων για το πόσο ίδια και διαφορετικά είναι τα στοιχεία του συνόλου των στηλών.

Παρα πολυ ωραια σε αυτο το ποστ σου βρισκω καλυτερη αλληλεπιδραση που σημαινει πως μαλλον καταλαβες τι σου εγραψα !

Ετσι το βλεπω και εγω οπως το λες εδω, και γιαυτο ρωτησα στον υπολογισμο πιθανοτητας που υποστηριζετε ΕΣΕΙΣ, εχουν ληφθει και τα δυο "πειραματα τυχης" μεσα ? Κι αν ναι, πως μπορουν να φανουν στον υπολογισμο σας, οι ανισοβαρεις πιθανοτητες της πρωτης φασης συμμετοχης, δηλ. ο σχηματισμος συνδυασμου διπλων στηλων !

Με τον αλλο τον φιλο που συμφωνει μαζι μου, λεμε πως για να υπολογιστει πιθανοτητα νικητη πρεπει το αποτελεσμα της πρωτης φασης να ειναι ΓΝΩΣΤΟ !

Μαλιστα υπεδειξα αδυναμια στον τροπο υπολογισμου σας που δεν βλεπω καποιος απο εσας να αποπειραται να απαντησει.

[enaon]

Σε έναν αριθμό 48 εκατομμυρίων στηλών, το 43% θα εμφανίζονται πάνω από μια φορά, δηλαδή μόνο οι 21 εκατομμύρια είναι μοναδικές.

γραφεις κατι μπερδεμένο εδώ, ή έχεις μπλεξει λιγο τα νουμερα;

Να ρωτησω κατι, τι ακριβως εμποδιζει σε 48 εκ στηλες τα 47 εκ στηλες να εχουν παιχτει απο εναν και να ειναι και τα 47 εκ ΙΔΙΕΣ στηλες ? Απαγορευει το τζοκερ να συμπληρωσεις δελτιο με ιδιες στηλες ?

ω καταλαβει τι λες, μια χαρα οκ, αλλά πρεπει και εσύ να καταλαβεις τι σου λενε νομιζω, περίεργο που εχεις αργήσει τόσο.

[Zundapp]

εγω παντως εχω κερδεψει απο 1 εουρο 4 φορες

[nik_killthemall]

Αν παίξεις δύο ίδιες στήλες η πιθανότητα να μην κερδίσεις είναι ακριβώς η ίδια με το αν έπαιζες μόνο μία.

Φιλε εγω το ξερω, οι αλλοι κανουν οτι δεν το ξερουν.

Έχουμε ένα ζαρί και τρεις πχωρουμίτες. Ποντάρουν και οι τρεις κρυφά στο τι θα φέρει το ζάρι.

Ποια η πιθανότητα να μην πετύχει κανένας το αποτέλεσμα της ζαριάς ;

Δεκτον, δεχομαι οτι εχετε δικιο οταν ξερουμε εξαρχης ποσες στηλες (ποσοι πχωρουμιτες) παιζονται ! Η αποδειξη που ζηταγα ειναι η παρακατω :

Ορισμοι :

U = ενωση (ή)
/ = δεσμευμενη πιθανοτητα
^ = τομη (και)

Ενδεχομενο να μην πετυχει κανενας το αποτελεσμα της ζαριας = Α
Ενδεχομενο να ειναι και τα 3 πονταρισματα διαφορετικα = Β
Ενδεχομενο να ειναι ιδια μονο 2 πονταρισματα = Γ
Ενδεχομενο να ειναι ιδια και τα 3 πονταρισματα = Δ

Λύση :

Τα Β,Γ,Δ ειναι ξενα μεταξυ τους και η ενωση τους εχει πιθανοτητα 1 !

P(Β) = (6*5*4)/(6*6*6) = 20/36 = 55.55%
P(Γ) = 3*(6*5)/(6*6*6) = 15/36 = 41,66%
P(Δ) = (6)/(6*6*6) = 1/36 = 2,77%

Δεσμευμενες πιθανοτητες :

P(A/Β) = 3/6
P(A/Γ) = 4/6
P(A/Δ) = 5/6

Θεωρημα Ολικης πιθανοτητας

P(A) = P( A^(ΒUΓUΔ) ) = P( (A^B)U(A^Γ)U(A^Δ) ) = P(A^B) + P(A^Γ) + P(A^Δ) ) = P(A/B)*P(B) + P(A/Γ)*P(Γ) + P(A/Δ)*P(Δ) =

(3/6)*(20/36) + (4/6)*(15/36) + (5/6)*(1/36) => P(A) = 125 / 216

__________________

Το οποιο πραγματι αλγεβρικα ειναι ισο με αυτό που λέτε (1-1/6)^3.

Ωστοσο ειναι λαθος να πεις οτι αυτο προκυπτει απο το γινομενο των πιθανοτητων να μην νικησουν των τριων πχωρουμιτων. Γιατι ετσι δινεις την εντυπωση οτι συμβαινει ενα πειραμα, ενω στη πραγματικοτητα απο τη στιγμη που ειναι κρυφα τα πονταρισματα των 3 πχουρωμιτων, συμβαινουν 2 πειραματα και οχι ενα : το πρωτο πειραμα ειναι το ποιος συνδυασμος διπλων, τριπλων κλπ πονταρισματων θα ερθει και το δευτερο πειραμα ειναι η ζαρια.

οποτε το δευτερο πειραμα προκυπτει καθε φορα σαν δεσμευμενη πιθανοτητα του αποτελεσματος του πρωτου.

Μαλιστα η κατανομη των "στηλων" στο πρωτο πειραμα θεωρειται ΙΣΟΠΙΘΑΝΗ και προκυπτει απο το πληθος των συνδυασμων διπλων στηλων προς ολους τους δυνατους συνδυασμους !
Δηλ. η πιθανοτητα να εχουν παιχτει 5 εκ ιδιες στηλες ειναι ιση με την πιθανοτητα να εχουν παιχτει 2,5 εκ ιδιες στηλες και 2,5 εκ διαφορετικες στηλες !

[Crimson_2]

Το βασικό είναι να καταλαβαίνει κανείς τι λέει και τι λέει ο άλλος, που καμιά φορά είναι δύσκολο για googlo-δίδακτους (συνήθως η πανεπιστημιακή πορεία σε κάνει να αντιλαμβάνεσαι επιστημονικά αντεπιχειρήματα καλύτερα) .

εχει μια βαση αυτο που λες εδω, αλλα διαφωνω εχω ακουσει απυθμενες κοτσανες και απο τυπους με πανεπιστημιακη πορεια, παροτι αυτο που λεω ειναι εναντιον μου ως πτυχιουχος ΕΜΠ 20+ χρονια.

Κυριως θεμα χαρακτηρα ειναι μαν, και νταξ το φλωρουμ δεν ειναι κανα πολιτισμενο μεσον διανοησης, γηπεδο εκτονωσης απωθημενων ειναι. Εδω η φαση εγινε γιατι μου τη φυλαγε ο γλυκουλης ο χελι απο αλλες κοντρες μας σε αλλες συζητησεις και φανηκε απο το σημειο που ξεκινησε κι ας κανει τον βλακα, εγωιστης ειναι οχι βλακας, ενολιγοις πολιτικη ειναι το πραμα που την αγαπανε ιδιαιτερα εδω μεσα.

Τα προσπερναμε ολα και παμε στα μαθηματικα, αν βρουνε το θαρρος να απαντησουνε ...

Επισης υπαρχουν πολλες περιπτωσεις που ο υπολογισμος πιθανοτητας ΔΕΝ ειναι μονοσημαντος !

Ε ναι συνήθως γίνεται αυτό, επειδή τρως νίλες όπου νόμιζες πως είχες δίκιο αλλά δεν, οπότε κάποια στιγμή μαθαίνεις ότι όλοι κάνουμε λάθη και σημασία έχει η επιστημονική αλήθεια. Αν για τον Χ, Ψ λόγο δεν έφαγες τέτοιες νίλες στο πανεπιστήμιο επειδή δεν σε πολύ ένοιαζε κιόλας δηλαδή, όπως μπήκες έτσι βγαίνεις.

Και σίγουρα όταν οι γνώσεις σου είναι από το google ή κανα βιβλίο που διάβασες μόνος σου, ε δεν υπήρχε τριβή με συμφοιτητές ή καθηγητές, πάντα δίκιο είχες, άντε το πολύ πολύ να το εννοούσες αλλιώς, έτσι έμαθες έτσι πράττεις.

Δεν νομίζω ότι θα απαντήσει κανείς επί του θέματος περαιτέρω όμως, μακάρι να κάνω λάθος. Για να χρυσώσω το χάπι να πω ότι ΑΝ είχαν στοιχεία πχ κάποιο paper που είχε υπολογίσει ότι η pdf του στοιχήματος είναι η τάδε (σίγουρα όχι η ομοιόμορφη του αρχικού λανθασμένου υπολογισμού τους), θα έβγαζαν πρόβλεψη με ποιο στενά όρια από την δική σου, που τεχνικά κυμαίνεται ανάμεσα στο 0 πρακτικά και το 5εκ/21εκ.

[Crimson_2]

Φιλε εγω το ξερω, οι αλλοι κανουν οτι δεν το ξερουν.

Έχουμε ένα ζαρί και τρεις πχωρουμίτες. Ποντάρουν και οι τρεις κρυφά στο τι θα φέρει το ζάρι.

Ποια η πιθανότητα να μην πετύχει κανένας το αποτέλεσμα της ζαριάς ;

Δεκτον, δεχομαι οτι εχετε δικιο οταν ξερουμε εξαρχης ποσες στηλες (ποσοι πχωρουμιτες) παιζονται ! Η αποδειξη που ζηταγα ειναι η παρακατω :

Ορισμοι :

U = ενωση (ή)
/ = δεσμευμενη πιθανοτητα
^ = τομη (και)

Ενδεχομενο να μην πετυχει κανενας το αποτελεσμα της ζαριας = Α
Ενδεχομενο να ειναι και τα 3 πονταρισματα διαφορετικα = Β
Ενδεχομενο να ειναι ιδια μονο 2 πονταρισματα = Γ
Ενδεχομενο να ειναι ιδια και τα 3 πονταρισματα = Δ

Λύση :

Τα Β,Γ,Δ ειναι ξενα μεταξυ τους και η ενωση τους εχει πιθανοτητα 1 !

P(Β) = (6*5*4)/(6*6*6) = 20/36 = 55.55%
P(Γ) = 3*(6*5)/(6*6*6) = 15/36 = 41,66%
P(Δ) = (6)/(6*6*6) = 1/36 = 2,77%

Δεσμευμενες πιθανοτητες :

P(A/Β) = 3/6
P(A/Γ) = 4/6
P(A/Δ) = 5/6

Θεωρημα Ολικης πιθανοτητας

P(A) = P( A^(ΒUΓUΔ) ) = P( (A^B)U(A^Γ)U(A^Δ) ) = P(A^B) + P(A^Γ) + P(A^Δ) ) = P(A/B)*P(B) + P(A/Γ)*P(Γ) + P(A/Δ)*P(Δ) =

(3/6)*(20/36) + (4/6)*(15/36) + (5/6)*(1/36) => P(A) = 125 / 216

__________________

Το οποιο πραγματι αλγεβρικα ειναι ισο με αυτό που λέτε (1-1/6)^3.

Ωστοσο ειναι λαθος να πεις οτι αυτο προκυπτει απο το γινομενο των πιθανοτητων να μην νικησουν των τριων πχωρουμιτων. Γιατι ετσι δινεις την εντυπωση οτι συμβαινει ενα πειραμα, ενω στη πραγματικοτητα απο τη στιγμη που ειναι κρυφα τα πονταρισματα των 3 πχουρωμιτων, συμβαινουν 2 πειραματα και οχι ενα : το πρωτο πειραμα ειναι το ποιος συνδυασμος διπλων, τριπλων κλπ πονταρισματων θα ερθει και το δευτερο πειραμα ειναι η ζαρια.

οποτε το δευτερο πειραμα προκυπτει καθε φορα σαν δεσμευνη πιθανοτητα του αποτελεσματος του πρωτου.

Μαλιστα η κατανομη των "στηλων" στο πρωτο πειραμα θεωρειται ΙΣΟΠΙΘΑΝΗ και προκυπτει απο το πληθος των συνδυασμων διπλων στηλων προς ολους τους δυνατους συνδυασμους !
Δηλ. η πιθανοτητα να εχουν παιχτει 5 εκ ιδιες στηλες ειναι ιση με την πιθανοτητα να εχουν παιχτει 2,5 εκ ιδιες στηλες και 2,5 εκ διαφορετικες στηλες !

Σωστοί υπολογισμοί αλλά νομίζω εστιάζεις στο λάθος πράγμα για να γίνει κατανοητό το point.

Στο παράδειγμα αυτό οι πχωρουμιτες ξέρουν ότι η κατανομή του αποτελέσματος της ζαριάς είναι ομοιόμορφη, οπότε θεωρούμε ισοπίθανο το να ποντάρουν σε οποιοδήποτε νούμερο. Στο Τζόκερ καλώς η κακώς ο πληθυσμός ΔΕΝ πρόκειται να ποντάρει το (1,1,1,1,1,1) ούτε το (1,2,3,3,4,5,6) κ.ο.κ, άλλος βάζει γενέθλια άλλος αυτό που είδε στον ύπνο του κλπ. Επίσης στο παράδειγμα αυτό ο κάθε ένας ποντάρει μια φορά, ενώ στο Τζόκερ μπορείς να ποντάρεις παραπάνω και ΔΕΝ θα παίξεις τα ίδια νούμερα. Τουτέστιν, η φιλοσοφία αυτή κάνει break down αφού δεν έχεις σωστό prior για να δουλέψεις τα νούμερα.

[Ανίκητος]

Δηλ. ενδεχομενο Α : 21 εκ στηλες διαφορετικες και 27 εκ στηλες ιδιες, ενδεχομενο Β : 1 εκ στηλες διαφορετικες και 47 εκ στηλες ιδιες.
Τωρα εδω υπαρχουν 2 διαφορετικα ερωτηματα και δεν καταλαβαινω με ποιο απτα 2 ερωτηματα καταπιανεσαι ή αν καταπιανεσαι και με τα δυο :

Καταπιάστηκα με το αν οι πιθανότητες P(A) και P(B) είναι διαφορετικές.

Πρωτο ερωτημα : Ποια η πιθανοτητα να βρεθει νικητης αν στα 48 εκ στηλες που παιχτηκαν εκατσε ο συνδυασμος διπλων στηλων του ενδεχομενου Α.

Σε αυτο το ερωτημα η πιθανοτητα να βρεθει νικητης μεσα στα 27 εκ. ιδιες στηλες ειναι ακριβως 1/24.435.180 ! Με λιγα λογια στον λογισμο πιθανοτητας ευρεσης νικητη στον συνδυασμο διπλων στηλων του Α οι 26.999.999 ιδιες στηλες ειναι σα να μην υπαρχουν και η συνολικη πιθανοτητα εμφανισης νικητη ειναι (21εκ+1) / 24.435.180.
Οποτε δεν ξερω πως το εννοεις αυτο που γραφεις Άρα θα παίξεις 27 εκατομμύρια φορές την πιθανότητα p ! Η πιθανοτητα των 27 εκ ιδιων στηλων ΔΕΝ θα λογιστει 27 εκατομμυρια φορες αλλα μονο ΜΙΑ !
(Αν εγω παιξω μια στηλη ή αν παιξω 100 φορες την ιδια στηλη η πιθανοτητα να πιασω το τζοκερ και στις 2 περιπτωσεις ειναι μια φορα το p )

ΠΑΝΤΑ δηλ. ο υπολογισμος πιθανοτητας ευρεσης νικητη για γνωστο συνδυασμο διπλων στηλων αναγεται σε υπολογισμο πιθανοτητας για διαφορετικες στηλες, αμελωντας ολες τις ιδιες και μειώνοντας το συνολο των στηλων που παιχτηκαν !

Ας ξαναδούμε το ενδεχόμενο Α. Πόσους τρόπους έχεις για να συμβεί;
Επιλέγεις την 1η στήλη του Α. Έχεις 24.435.180 διαφορετικές επιλογές.
Επιλέγεις την 2η στήλη του Α. Αυτή πρέπει να είναι διαφορετική από την 1η. Έχεις 24.435.179 επιλογές.
Επιλέγεις την 3η στήλη του Α. Αυτή πρέπει να είναι διαφορετική από την 1η και τη 2η. Έχεις 24.435.178 επιλογές.
...
Επιλέγεις την 21.000.000η στήλη του Α. Αυτή πρέπει να είναι διαφορετική από όλες που προηγήθηκαν. Έχεις 3.435.181 επιλογές.
Σου μένουν άλλες 27.000.000 στήλες του Α. Μπορείς να επιλέξεις ξανά και ξανά οποιαδήποτε από τις εναπομείνασες 3.435.180 επιλογές. Οπότε έχεις (3435180)^27000000 τρόπους να συμπληρώσεις τις υπόλοιπες στήλες του Α, από την 21.000.001η μέχρι τη 48.000.000η.

Άρα για να συμβεί το ενδεχόμενο Α στη συμμετοχή ενός παιχνιδιού (υπό τη δέσμευση ότι θα φτάσει ακριβώς 48 εκατομμύρια στήλες), πρέπει να βάλουμε στον αριθμητή το γινόμενο Ν(Α) αυτών των τρόπων και στον παρονομαστή το Ν(Ω_|48000000|)=(24435180)^^48000000 που είναι όλοι οι δυνατοί τρόποι να συμπληρωθούν 48 εκατομμύρια στήλες.


Γίνεται η κλήρωση λοιπόν, βγαίνει ένα αποτέλεσμα. Για να βρεθεί νικητής, θα πρέπει το αποτέλεσμα της κληρωτίδας να ταιριάζει με κάποια στήλη από τις 48 εκατομμύρια που παίχτηκαν. Πιο συγκεκριμένα

Prob{τουλάχιστον μια νικήτρια στήλη σε 48 εκ.} = 1 - Prob{καμία νικήτρια στήλη σε 48 εκ.}
Prob{καμία νικήτρια στήλη σε 48 εκ.} = Prob{καμία νικήτρια στήλη στις 21 εκ. διαφορετικές} * Prob{καμία νικήτρια στήλη στις υπόλοιπες 27 εκ.}
Prob{καμία νικήτρια στήλη στις 21 εκ. διαφορετικές} = (1-p)^^21000000 , p =1/24435180
Prob{καμία νικήτρια στήλη στις υπόλοιπες 27 εκ.} = (1-1/3435180)^^27000000

[Ανίκητος]

https://opaponline.opap.gr/el/tzoker/draws-results: Ο μέσος όρος των στηλών που παίχθηκαν τον Ιανουάριο είναι λ=4.303.265.
Ο αριθμός των στηλών που παίζονται σε κάθε παιχνίδι ακολουθεί την κατανομή Poisson με αυτή την λ σαν παράμετρο.

Η πιθανότητα να παιχτούν 48 εκατομμύρια στήλες στο επόμενο παιχνίδι είναι περίπου μηδέν.
Η πιθανότητα να παιχτούν περισσότερες από λ στήλες είναι 50%, όπως και η πιθανότητα να παιχτούν λιγότερες.

[mao mao]

Φιλε εγω το ξερω, οι αλλοι κανουν οτι δεν το ξερουν.

Έχουμε ένα ζαρί και τρεις πχωρουμίτες. Ποντάρουν και οι τρεις κρυφά στο τι θα φέρει το ζάρι.

Ποια η πιθανότητα να μην πετύχει κανένας το αποτέλεσμα της ζαριάς ;

Δεκτον, δεχομαι οτι εχετε δικιο οταν ξερουμε εξαρχης ποσες στηλες (ποσοι πχωρουμιτες) παιζονται ! Η αποδειξη που ζηταγα ειναι η παρακατω :

Ορισμοι :

U = ενωση (ή)
/ = δεσμευμενη πιθανοτητα
^ = τομη (και)

Ενδεχομενο να μην πετυχει κανενας το αποτελεσμα της ζαριας = Α
Ενδεχομενο να ειναι και τα 3 πονταρισματα διαφορετικα = Β
Ενδεχομενο να ειναι ιδια μονο 2 πονταρισματα = Γ
Ενδεχομενο να ειναι ιδια και τα 3 πονταρισματα = Δ

Λύση :

Τα Β,Γ,Δ ειναι ξενα μεταξυ τους και η ενωση τους εχει πιθανοτητα 1 !

P(Β) = (6*5*4)/(6*6*6) = 20/36 = 55.55%
P(Γ) = 3*(6*5)/(6*6*6) = 15/36 = 41,66%
P(Δ) = (6)/(6*6*6) = 1/36 = 2,77%

Δεσμευμενες πιθανοτητες :

P(A/Β) = 3/6
P(A/Γ) = 4/6
P(A/Δ) = 5/6

Θεωρημα Ολικης πιθανοτητας

P(A) = P( A^(ΒUΓUΔ) ) = P( (A^B)U(A^Γ)U(A^Δ) ) = P(A^B) + P(A^Γ) + P(A^Δ) ) = P(A/B)*P(B) + P(A/Γ)*P(Γ) + P(A/Δ)*P(Δ) =

(3/6)*(20/36) + (4/6)*(15/36) + (5/6)*(1/36) => P(A) = 125 / 216

__________________

Το οποιο πραγματι αλγεβρικα ειναι ισο με αυτό που λέτε (1-1/6)^3.

Ωστοσο ειναι λαθος να πεις οτι αυτο προκυπτει απο το γινομενο των πιθανοτητων να μην νικησουν των τριων πχωρουμιτων. Γιατι ετσι δινεις την εντυπωση οτι συμβαινει ενα πειραμα, ενω στη πραγματικοτητα απο τη στιγμη που ειναι κρυφα τα πονταρισματα των 3 πχουρωμιτων, συμβαινουν 2 πειραματα και οχι ενα : το πρωτο πειραμα ειναι το ποιος συνδυασμος διπλων, τριπλων κλπ πονταρισματων θα ερθει και το δευτερο πειραμα ειναι η ζαρια.

οποτε το δευτερο πειραμα προκυπτει καθε φορα σαν δεσμευνη πιθανοτητα του αποτελεσματος του πρωτου.

Το ενδεχομένο σωστής πρόβλεψης του κάθε πχωρουμίτη είναι ανεξάρτητο από τις επιλογές του άλλου. Έχουμε ξεκάθαρα τρία ανεξάρτητα ενδεχόμενα που για να βρούμε την πιθανότητα επαλήθευσης όλων απλά υπολογίζουμε το γινόμενο τους.

[nik_killthemall]

Δηλ. ενδεχομενο Α : 21 εκ στηλες διαφορετικες και 27 εκ στηλες ιδιες, ενδεχομενο Β : 1 εκ στηλες διαφορετικες και 47 εκ στηλες ιδιες.
Τωρα εδω υπαρχουν 2 διαφορετικα ερωτηματα και δεν καταλαβαινω με ποιο απτα 2 ερωτηματα καταπιανεσαι ή αν καταπιανεσαι και με τα δυο :

Καταπιάστηκα με το αν οι πιθανότητες P(A) και P(B) είναι διαφορετικές.

Πρωτο ερωτημα : Ποια η πιθανοτητα να βρεθει νικητης αν στα 48 εκ στηλες που παιχτηκαν εκατσε ο συνδυασμος διπλων στηλων του ενδεχομενου Α.

Σε αυτο το ερωτημα η πιθανοτητα να βρεθει νικητης μεσα στα 27 εκ. ιδιες στηλες ειναι ακριβως 1/24.435.180 ! Με λιγα λογια στον λογισμο πιθανοτητας ευρεσης νικητη στον συνδυασμο διπλων στηλων του Α οι 26.999.999 ιδιες στηλες ειναι σα να μην υπαρχουν και η συνολικη πιθανοτητα εμφανισης νικητη ειναι (21εκ+1) / 24.435.180.
Οποτε δεν ξερω πως το εννοεις αυτο που γραφεις Άρα θα παίξεις 27 εκατομμύρια φορές την πιθανότητα p ! Η πιθανοτητα των 27 εκ ιδιων στηλων ΔΕΝ θα λογιστει 27 εκατομμυρια φορες αλλα μονο ΜΙΑ !
(Αν εγω παιξω μια στηλη ή αν παιξω 100 φορες την ιδια στηλη η πιθανοτητα να πιασω το τζοκερ και στις 2 περιπτωσεις ειναι μια φορα το p )

ΠΑΝΤΑ δηλ. ο υπολογισμος πιθανοτητας ευρεσης νικητη για γνωστο συνδυασμο διπλων στηλων αναγεται σε υπολογισμο πιθανοτητας για διαφορετικες στηλες, αμελωντας ολες τις ιδιες και μειώνοντας το συνολο των στηλων που παιχτηκαν !

Ας ξαναδούμε το ενδεχόμενο Α. Πόσους τρόπους έχεις για να συμβεί;
Επιλέγεις την 1η στήλη του Α. Έχεις 24.435.180 διαφορετικές επιλογές.
Επιλέγεις την 2η στήλη του Α. Αυτή πρέπει να είναι διαφορετική από την 1η. Έχεις 24.435.179 επιλογές.
Επιλέγεις την 3η στήλη του Α. Αυτή πρέπει να είναι διαφορετική από την 1η και τη 2η. Έχεις 24.435.178 επιλογές.
...
Επιλέγεις την 21.000.000η στήλη του Α. Αυτή πρέπει να είναι διαφορετική από όλες που προηγήθηκαν. Έχεις 3.435.181 επιλογές.
Σου μένουν άλλες 27.000.000 στήλες του Α. Μπορείς να επιλέξεις ξανά και ξανά οποιαδήποτε από τις εναπομείνασες 3.435.180 επιλογές. Οπότε έχεις (3435180)^27000000 τρόπους να συμπληρώσεις τις υπόλοιπες στήλες του Α, από την 21.000.001η μέχρι τη 48.000.000η.

Άρα για να συμβεί το ενδεχόμενο Α στη συμμετοχή ενός παιχνιδιού (υπό τη δέσμευση ότι θα φτάσει ακριβώς 48 εκατομμύρια στήλες), πρέπει να βάλουμε στον αριθμητή το γινόμενο Ν(Α) αυτών των τρόπων και στον παρονομαστή το Ν(Ω_|48000000|)=(24435180)^^48000000 που είναι όλοι οι δυνατοί τρόποι να συμπληρωθούν 48 εκατομμύρια στήλες.


Γίνεται η κλήρωση λοιπόν, βγαίνει ένα αποτέλεσμα. Για να βρεθεί νικητής, θα πρέπει το αποτέλεσμα της κληρωτίδας να ταιριάζει με κάποια στήλη από τις 48 εκατομμύρια που παίχτηκαν. Πιο συγκεκριμένα

Prob{τουλάχιστον μια νικήτρια στήλη σε 48 εκ.} = 1 - Prob{καμία νικήτρια στήλη σε 48 εκ.}
Prob{καμία νικήτρια στήλη σε 48 εκ.} = Prob{καμία νικήτρια στήλη στις 21 εκ. διαφορετικές} * Prob{καμία νικήτρια στήλη στις υπόλοιπες 27 εκ.}
Prob{καμία νικήτρια στήλη στις 21 εκ. διαφορετικές} = (1-p)^^21000000 , p =1/24435180
Prob{καμία νικήτρια στήλη στις υπόλοιπες 27 εκ.} = (1-1/3435180)^^27000000

Μαν δες την απαντηση που εδωσα στον μαο μαο, ο οποιος πολυ ευστοχα προσομοιαζει τη κληρωση με το αναλογο με τη ζαρια οπου τα πονταρισματα ειναι κρυφα και το πληθος των στηλων (οι πχωρουμιτες) εκ των πρωτερων γνωστοι ! Εκει απανταω σε ολα αυτα ! Οταν οι στηλες ειναι αγνωστες συμβαινουν δυο πειραματα, 2 φασεις οπως σωστα ειπες.
Ενω οι συνδυασμοι των διπλων στηλων για τους οποιους μιλαμε στην αποδειξη που παραθετω για να βγει ο τυπος που υποστηριζετε, λαμβανονται ΙΣΟΠΙΘΑΝΟΙ τελικα (που μαλλον στη πραγματικοτητα ΔΕΝ ειναι καθολου ισοπιθανοι).

Η απαντηση που δινω στον μαο μαο ειναι η μαθηματικη αποδειξη του τυπου που υποστηριζετε, αλλα οι προφεσοροι (οχι εσυ) δεν την εδιναν γιατι η σχεση τους ειναι επιδερμικη. Με λιγα λογια καποιος γνωστης υποστηρικτης του τυπου που υπολογιζετε την πιθανοτητα θα αποδεικνυε τον τυπο ακριβως οπως δειχνω.

[nik_killthemall]

Το ενδεχομένο σωστής πρόβλεψης του κάθε πχωρουμίτη είναι ανεξάρτητο από τις επιλογές του άλλου. Έχουμε ξεκάθαρα τρία ανεξάρτητα ενδεχόμενα που για να βρούμε την πιθανότητα επαλήθευσης όλων απλά υπολογίζουμε το γινόμενο τους.

εεε Οχι ! Η απαντηση που σου εδωσα αποτελει την μαθηματικη αποδειξη του τυπου που υποστηριζετε για τον υπολογισμο της πιθανοτητας, και επειδη μαλλον αναπαραγετε οτι βλεπετε δεξια αριστερα, αντι να μου την δωσετε εσεις, σας την εδωσα εγω.

Αν καταλαβες στην μαθηματικη αποδειξη που παρεθεσα, χρησιμοποιειται το αναποδο απο αυτο που λες, οτι δηλ οι επιλογες του καθε πχωρουμιτη ειναι ισχυρα εξαρτημενες μεταξυ τους ! Γιαυτο διακρινονται τα ενδεχομενα Β,Γ,Δ ιδια πονταρισματα ή διαφορετικα ! Μαλιστα οταν 2 ή 3 πονταρισματα ειναι ιδια, οπως βλεπεις στον υπολογισμο των πιθανοτητων των Β,Γ,Δ οι πχωρουμιτες ΕΞΑΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ ! Δηλ οταν εχεις 2 ιδια πονταρισματα στο πειραμα ειναι σα να μετεχουν 2 πχωρουμιτες και ΟΧΙ τρεις !

Απλα επειδη ζητησες οι στηλες να ειναι κρυφες, αυτο εχει ως αποτελεσμα το πειραμα να μην ειναι ενα (η κληρωση) αλλα δυο (συνδυασμος στηλων + κληρωση) !
Οποτε η μικτη πιθανοτητα απο την υπερθεση αυτων των 2 πειραματων στο τελικο αποτελεσμα αιρει την εξαρτηση μεταξυ των επιλογων των 3 πχωρουμιτων.

ΑΝ ΟΜΩΣ οι στηλες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΚΡΥΦΕΣ τοτε εχουμε ΕΝΑ πειραμα (και οχι 2) και τοτε ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΜΙΑ ανεξαρτησια μεταξυ των επιλογων του καθε πχωρουμιτη για τον υπολογισμο της πιθανοτητας να υπαρξει νικητης !

Απλα οταν αποδεικνυεις κατι, βλεπεις και την αδυναμια του, και εδω η αδυναμια του ειναι πως θεωρει ισοπιθανους ολους τους συνδυασμους πονταρισματων, που στην περιπτωση του τζοκερ ειναι λαθος ! Γιατι το να παιχτουν 4.999.999 ιδιες στηλες και 1 διαφορετικη ΔΕΝ εχει την ιδια πιθανοτητα με το να παιχτουν 2,5 εκ ιδιες στηλες και 2,5 εκ διαφορετικες !

Με λιγα λογια το αποτελεσμα ειναι καθαρα θεωρητικο και λειπει καθε στατιστικη επεξεργασια !

[nik_killthemall]

Έχουμε ένα ζαρί και τρεις πχωρουμίτες. Ποντάρουν και οι τρεις κρυφά στο τι θα φέρει το ζάρι.

Ποια η πιθανότητα να μην πετύχει κανένας το αποτέλεσμα της ζαριάς ;

Δεκτον, δεχομαι οτι εχετε δικιο οταν ξερουμε εξαρχης ποσες στηλες (ποσοι πχωρουμιτες) παιζονται ! Η αποδειξη που ζηταγα ειναι η παρακατω :

Ορισμοι :

U = ενωση (ή)
/ = δεσμευμενη πιθανοτητα
^ = τομη (και)

Ενδεχομενο να μην πετυχει κανενας το αποτελεσμα της ζαριας = Α
Ενδεχομενο να ειναι και τα 3 πονταρισματα διαφορετικα = Β
Ενδεχομενο να ειναι ιδια μονο 2 πονταρισματα = Γ
Ενδεχομενο να ειναι ιδια και τα 3 πονταρισματα = Δ

Λύση :

Τα Β,Γ,Δ ειναι ξενα μεταξυ τους και η ενωση τους εχει πιθανοτητα 1 !

P(Β) = (6*5*4)/(6*6*6) = 20/36 = 55.55%
P(Γ) = 3*(6*5)/(6*6*6) = 15/36 = 41,66%
P(Δ) = (6)/(6*6*6) = 1/36 = 2,77%

Δεσμευμενες πιθανοτητες :

P(A/Β) = 3/6
P(A/Γ) = 4/6
P(A/Δ) = 5/6

Θεωρημα Ολικης πιθανοτητας

P(A) = P( A^(ΒUΓUΔ) ) = P( (A^B)U(A^Γ)U(A^Δ) ) = P(A^B) + P(A^Γ) + P(A^Δ) ) = P(A/B)*P(B) + P(A/Γ)*P(Γ) + P(A/Δ)*P(Δ) =

(3/6)*(20/36) + (4/6)*(15/36) + (5/6)*(1/36) => P(A) = 125 / 216

__________________

Το οποιο πραγματι αλγεβρικα ειναι ισο με αυτό που λέτε (1-1/6)^3.

Ωστοσο ειναι λαθος να πεις οτι αυτο προκυπτει απο το γινομενο των πιθανοτητων να μην νικησουν των τριων πχωρουμιτων. Γιατι ετσι δινεις την εντυπωση οτι συμβαινει ενα πειραμα, ενω στη πραγματικοτητα απο τη στιγμη που ειναι κρυφα τα πονταρισματα των 3 πχουρωμιτων, συμβαινουν 2 πειραματα και οχι ενα : το πρωτο πειραμα ειναι το ποιος συνδυασμος διπλων, τριπλων κλπ πονταρισματων θα ερθει και το δευτερο πειραμα ειναι η ζαρια.

οποτε το δευτερο πειραμα προκυπτει καθε φορα σαν δεσμευνη πιθανοτητα του αποτελεσματος του πρωτου.

Μαλιστα η κατανομη των "στηλων" στο πρωτο πειραμα θεωρειται ΙΣΟΠΙΘΑΝΗ και προκυπτει απο το πληθος των συνδυασμων διπλων στηλων προς ολους τους δυνατους συνδυασμους !
Δηλ. η πιθανοτητα να εχουν παιχτει 5 εκ ιδιες στηλες ειναι ιση με την πιθανοτητα να εχουν παιχτει 2,5 εκ ιδιες στηλες και 2,5 εκ διαφορετικες στηλες !

Σωστοί υπολογισμοί αλλά νομίζω εστιάζεις στο λάθος πράγμα για να γίνει κατανοητό το point.

Στο παράδειγμα αυτό οι πχωρουμιτες ξέρουν ότι η κατανομή του αποτελέσματος της ζαριάς είναι ομοιόμορφη, οπότε θεωρούμε ισοπίθανο το να ποντάρουν σε οποιοδήποτε νούμερο. Στο Τζόκερ καλώς η κακώς ο πληθυσμός ΔΕΝ πρόκειται να ποντάρει το (1,1,1,1,1,1) ούτε το (1,2,3,3,4,5,6) κ.ο.κ, άλλος βάζει γενέθλια άλλος αυτό που είδε στον ύπνο του κλπ. Επίσης στο παράδειγμα αυτό ο κάθε ένας ποντάρει μια φορά, ενώ στο Τζόκερ μπορείς να ποντάρεις παραπάνω και ΔΕΝ θα παίξεις τα ίδια νούμερα. Τουτέστιν, η φιλοσοφία αυτή κάνει break down αφού δεν έχεις σωστό prior για να δουλέψεις τα νούμερα.

Σωστο, ουσιαστικα ο μαθηματικος τυπος που χρησιμοποιουν θεωρει ολους τους συνδυασμους πονταρισματων διαφορετικους ή μη, ισοπιθανους που στη πραγματικοτητα δεν ειναι. Αλλα αυτο για να το διαπιστωσουμε χρειαζοταν η παραπανω μαθηματικη αποδειξη ! (Οι ιδιοι δεν μπορουσαν να το απαντησουν τεκμηριωμενα οσο κι αν ρωταγαμε)

Με λιγα λογια ο τυπος υπολογισμου που χρησιμοποιουν ειναι καθαρα θεωρητικος και δεν περιλαμβανει ΚΑΜΙΑ στατιστικη συμπεριφορα των συνδυασμων στηλων οι οποιες δεν ειναι τυχαιες οπως η κληρωση, αρα πρεπει να εχουν ανομοιομορφη κατανομη πιθανοτητας.

Επισης με κρυφες τις στηλες, τα παιγνια τυχης ειναι τελικα 2 και οχι 1. Με μη κρυφες στηλες ο υπολογισμος πιθανοτητας νικητη θα βγαινει παντα μεγαλυτερος γιατι θα ειναι γνωστα τα αποτελεσματα του πρωτου πειραματος.

[mao mao]

Το ενδεχομένο σωστής πρόβλεψης του κάθε πχωρουμίτη είναι ανεξάρτητο από τις επιλογές του άλλου. Έχουμε ξεκάθαρα τρία ανεξάρτητα ενδεχόμενα που για να βρούμε την πιθανότητα επαλήθευσης όλων απλά υπολογίζουμε το γινόμενο τους.

εεε Οχι ! Η απαντηση που σου εδωσα αποτελει την μαθηματικη αποδειξη του τυπου που υποστηριζετε για τον υπολογισμο της πιθανοτητας, και επειδη μαλλον αναπαραγετε οτι βλεπετε δεξια αριστερα, αντι να μου την δωσετε εσεις, σας την εδωσα εγω.

Αν καταλαβες στην μαθηματικη αποδειξη που παρεθεσα, χρησιμοποιειται το αναποδο απο αυτο που λες, οτι δηλ οι επιλογες του καθε πχωρουμιτη ειναι ισχυρα εξαρτημενες μεταξυ τους ! Γιαυτο διακρινονται τα ενδεχομενα Β,Γ,Δ ιδια πονταρισματα ή διαφορετικα ! Μαλιστα οταν 2 ή 3 πονταρισματα ειναι ιδια, οπως βλεπεις στον υπολογισμο των πιθανοτητων των Β,Γ,Δ οι πχωρουμιτες ΕΞΑΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ ! Δηλ οταν εχεις 2 ιδια πονταρισματα στο πειραμα ειναι σα να μετεχουν 2 πχωρουμιτες και ΟΧΙ τρεις !

Απλα επειδη ζητησες οι στηλες να ειναι κρυφες, αυτο εχει ως αποτελεσμα το πειραμα να μην ειναι ενα (η κληρωση) αλλα δυο (συνδυασμος στηλων + κληρωση) !
Οποτε η μικτη πιθανοτητα απο την υπερθεση αυτων των 2 πειραματων στο τελικο αποτελεσμα αιρει την εξαρτηση μεταξυ των επιλογων των 3 πχωρουμιτων.

ΑΝ ΟΜΩΣ οι στηλες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΚΡΥΦΕΣ τοτε εχουμε ΕΝΑ πειραμα (και οχι 2) και τοτε ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΜΙΑ ανεξαρτησια μεταξυ των επιλογων του καθε πχωρουμιτη για τον υπολογισμο της πιθανοτητας να υπαρξει νικητης !

Απλα οταν αποδεικνυεις κατι, βλεπεις και την αδυναμια του, και εδω η αδυναμια του ειναι πως θεωρει ισοπιθανους ολους τους συνδυασμους πονταρισματων, που στην περιπτωση του τζοκερ ειναι λαθος ! Γιατι το να παιχτουν 4.999.999 ιδιες στηλες και 1 διαφορετικη ΔΕΝ εχει την ιδια πιθανοτητα με το να παιχτουν 2,5 εκ ιδιες στηλες και 2,5 εκ διαφορετικες !

Με λιγα λογια το αποτελεσμα ειναι καθαρα θεωρητικο και λειπει καθε στατιστικη επεξεργασια !

Για να λύσεις ένα πρόβλημα πιθανοτήτων, υπάρχουν πολλοί τρόποι. Εσύ το έλυσες με το δύσκολο τρόπο και κατέληξες στο P(A) = 125 / 216

Εγώ το λύνω με τον εύκολο τρόπο ((1-1/6)^3.) . Εκτός αν πιστεύεις οτι αυτά τα νούμερα συμπίπτουν μέχρι τελευταίο δεκαδικό λόγω σύμπτωσης.

Και με τον ίδιο τρόπο λύνω και το πρόβλημα του Τζόκερ. Το οποίο δεν μπορείς να το λύσεις με τη δική σου μέθοδο, λόγω μεγάλου πλήθους στηλών.

[hellegennes]

Εσείς λέτε, παρασυρμενοι από τον hellegenes ότι μπορείτε να αποδώσετε ακριβή πιθανότητα ότι κάποιος θα κερδίσει!

Δεν σημαίνει τίποτα η σύμφραση "ακριβή πιθανότητα". Η πιθανότητα είναι ένας μαθηματικός υπολογισμός που προκύπτει κανονιστικά. Οι πιθανότητες για γνωστά δεδομένα είναι πάντα ακριβείς αριθμοί.

Προφανώς κάτι... λείπει εδώ από πληροφορία που χρησιμοποιείτε άθελά σας και αυτό το κάτι είναι η υπόθεση ομοιόμορφης κατανομής στους αριθμούς.

Δεν υπάρχει καμμιά ομοιόμορφη κατανομή. Οι αριθμοί είναι τυχαίοι. Αυτό δεν σημαίνει ότι η πιθανότητα δεν είναι μαθηματικά υπολογίσιμη.

Αυτό σημαίνει το ότι υψώνετε την πιθανότητα να κερδίσει μια στήλη στην 5εκ.

Ναι, αυτή είναι η μέθοδος για να βρεις την πιθανότητα τουλάχιστον ενός θετικού αποτελέσματος σε έναν Χ αριθμό επαναλήψεων. Δεν έχει απολύτως καμμιά σημασία για τι πράγμα μιλάμε. Είτε είναι στήλες τζόκερ είτε πιθανότητα να πιάσεις παιδί, ο υπολογισμός είναι αυτός.

Αν κάνετε άλλη υπόθεση για την κατανομή, πχ ότι δεν θα παίξει κανείς 6 ίδια νούμερα, ο αριθμός δυνατών συνδυασμών αλλάζει και αλλάζει και το τελικό αποτέλεσμα.

Δεν υπάρχει λόγος να κάνεις αυθαίρετες υποθέσεις, αλλά μπορείς να υπολογίσεις την πιθανότητα να βρεθεί νικητής σε Χ στήλες με την ίδια μέθοδο και διαφορετικούς αριθμούς λόγω της παραδοχής αυτής. Αυτό θα σου δώσει την πιθανότητα να βρεθεί νικητής σε Χ παιγμένες στήλες στο σενάριο που λες, αλλά δεν είναι χρήσιμος υπολογισμός στην προκειμένη περίπτωση γιατί είναι μια αυθαίρετη παραδοχή που δεν περιγράφει την πραγματικότητα και ως εκ τούτου δεν σου δίνει χρήσιμα αποτελέσματα για την πιθανότητα να βρεθεί νικητής σε μια κλήρωση.

Το ξανατονίζω, το πρώτο λέγεται frequentist approach και το δεύτερο bayesian. Καθένα έχει καλά και κακά. Ο frequentist βασίζεται σε δεδομένα, και δεν θα κάνει κακή πρόβλεψη ποτέ. O Bayesian ΑΝ έχει σωστό world model, εν προκειμένω αν μέσω έρευνας βρει μια κατανομή των αριθμών που παίζει ο πληθυσμός κοντά στην πραγματική, μπορεί να κάνει πιο καλή πρόβλεψη από τον frequentist, και χωρίς να χρειαστεί να λάβει πρώτα χώρα το γεγονός (η κλήρωση).

Θα ήταν χρήσιμο να μας πεις σε ποιο κεφάλαιο ποιου βιβλίου στατιστικής διάβασες ότι μπορείς να χρησιμοποιήσεις μπεϋζιανή στατιστική για να προβλέψεις την πιθανότητα ενός αποτελέσματος σε παιχνίδι τύπου τζόκερ, όπου οι στήλες συμπληρώνονται από ένα σύνολο αριθμών και δεν είναι προκαθορισμένες/αριθμημένες.