Γιατί υπάρχουν οι φανταστικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί;

[micmic]

Αν το πρόσημο δηλώνει κατεύθυνση, έχεις +1 αυτοκίνητο που κατευθύνεται προς βορρά. Το πολλαπλασιάζεις με το i, και το στρέφεις 90 μοίρες αριστερά. Το ξαναπολλαπλασιάζεις με το i, και τώρα κοιτάει στην αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή έχεις -1 αυτοκίνητο. Επομένως i*i = -1. Το πολλαπλασιάζεις άλλες δυο φορές με το i, και γυρνάει πάλι στην αρχική κατεύθυνση: i*i*i*i = +1.

Όταν τώρα συνδυάσεις τους φανταστικούς με πραγματικούς, παίρνεις τους μιγαδικούς. Και αυτός ο συνδυασμός σου δίνει άπειρες "γωνίες περιστροφής". Δηλαδή το i+1 είναι στροφή 45 μοιρών.

[marabou]

Δεν υπάρχουν οι μιγαδικών αριθμοί.
Υπάρχει η άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών που είναι κάτι το οποίο ορίζουμε εμείς. Όπως ορίζουμε ότι 1+1=2 ( ή αν είναι ψηφορος του αδωνη κάνει 3) ορίζουμε έτσι και ότι i^2=-1.
Φτιάχνουμε έναν άλλο κανόνα.
Αν θες μπορείς να κάνεις δική σου άλγεβρα η οποία θα ισχύει όσο τηρείς τους κανόνες της.
Στην πράξη τώρα, οι μιγαδικοι ρυθμοί κάνουν πιο εύκολους τους υπολογισμούς σε διάφορους τομείς. Για αυτό και χρησιμοποιούνται.

Ε ναι, ποιοι είναι οι τομείς δεν ήξερα. Είπαν ότι χρησιμεύει στη Φυσική του ηλεκτρισμού. Έχει κι άλλες εφαρμογές;
Καλό αυτό με τον Άδωνη

[marabou]

Αν το πρόσημο δηλώνει κατεύθυνση, έχεις +1 αυτοκίνητο που κατευθύνεται προς βορρά. Το πολλαπλασιάζεις με το i, και το στρέφεις 90 μοίρες αριστερά. Το ξαναπολλαπλασιάζεις με το i, και τώρα κοιτάει στην αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή έχεις -1 αυτοκίνητο. Επομένως i*i = -1. Το πολλαπλασιάζεις άλλες δυο φορές με το i, και γυρνάει πάλι στην αρχική κατεύθυνση: i*i*i*i = +1.

Όταν τώρα συνδυάσεις τους φανταστικούς με πραγματικούς, παίρνεις τους μιγαδικούς. Και αυτός ο συνδυασμός σου δίνει άπειρες "γωνίες περιστροφής". Δηλαδή το i+1 είναι στροφή 45 μοιρών.

like

[nyxtovios]

Δεν υπάρχουν οι μιγαδικών αριθμοί.
Υπάρχει η άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών που είναι κάτι το οποίο ορίζουμε εμείς. Όπως ορίζουμε ότι 1+1=2 ( ή αν είναι ψηφορος του αδωνη κάνει 3) ορίζουμε έτσι και ότι i^2=-1.
Φτιάχνουμε έναν άλλο κανόνα.
Αν θες μπορείς να κάνεις δική σου άλγεβρα η οποία θα ισχύει όσο τηρείς τους κανόνες της.
Στην πράξη τώρα, οι μιγαδικοι ρυθμοί κάνουν πιο εύκολους τους υπολογισμούς σε διάφορους τομείς. Για αυτό και χρησιμοποιούνται.

Ε ναι, ποιοι είναι οι τομείς δεν ήξερα. Είπαν ότι χρησιμεύει στη Φυσική του ηλεκτρισμού. Έχει κι άλλες εφαρμογές;
Καλό αυτό με τον Άδωνη

Υπάρχουν πάρα πολλές εφαρμογές της complex algebra.
Αυτά που ξέρω εγώ είναι ότι χρησιμεύει στα δυναμικά συστήματα, ταλαντώσεις, έλεγχος κ.τ.λ.

[marabou]

Κύριες εφαρμογές είναι
* ηλεκτρονικά
* κβαντική φυσική
* ρευστοδυναμική
Δηλαδή στα πάντα, βασικά.

Το "φανταστικοί" δεν σημαίνει ότι είναι "παιγνίδι". Και το μηδέν (0) κάποτε ήταν φανταστικό. Στη Αρχαία Ελλάδα πχ, που δεν υπήρχε, έπεφτε πολύ γέλιο αν έλεγες ότι το "τίποτα είναι πραγματικό!", κάτι που σήμερα το δεχόμαστε χωρίς καν δεύτερη σκέψη. Με την άφηξή του όμως συμπληρώθηκε η απλή αριθμητική, και έτσι έγινε αποδεκτό. Το ίδιο με τους άρρητους αριθμούς. Υπήρχε λόγος που τους λέγαν άρρητους πριν τους κατανοήσουν, ήταν κάτι σαν ταμπού. Οι Πυθαγόρειοι μάλιστα λέγεται ότι δολοφόνησαν κάποιον που επέμενε. Το ίδιο και με τους αρνητικούς αριθμούς.

Οτιδήποτε καινούργιο μπορεί αρχικά να φαίνεται παράξενο, όπως οι μιγαδικοί τον 17ο αιώνα,αλλά κατακτά την θέση του συμπληρώνοντας κενά στα υπάρχοντα μαθηματικά. Πχ, Με μιγαδικούς κάθε πολυώνυμο βαθμού Ν έχει Ν ρίζες. Αυτό δεν μπορεί να επιτευχθεί με πραγματικούς αριθμούς, οπότε τσούπ, αμέσως βρήκε λόγο ύπαρξης, και γκαραντί ότι θα υπήρχαν εφαρμογές, όπως η εύκολη πρόσθεση με δεκαδικούς αριθμούς είχε γκαραντί ότι θα έβρισκε εφαρμογές στο εμπόριο.

Είχα την εντύπωση ότι αυτά διδάσκονταν στα σχολεία από το γυμνάσιο κιόλας. Δεν;;;

like

Παιδιά μου ανοίγετε το μυαλό. Ευχαριστώ ειλικρινά.

[marabou]

Δεν υπάρχουν οι μιγαδικών αριθμοί.
Υπάρχει η άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών που είναι κάτι το οποίο ορίζουμε εμείς. Όπως ορίζουμε ότι 1+1=2 ( ή αν είναι ψηφορος του αδωνη κάνει 3) ορίζουμε έτσι και ότι i^2=-1.
Φτιάχνουμε έναν άλλο κανόνα.
Αν θες μπορείς να κάνεις δική σου άλγεβρα η οποία θα ισχύει όσο τηρείς τους κανόνες της.
Στην πράξη τώρα, οι μιγαδικοι ρυθμοί κάνουν πιο εύκολους τους υπολογισμούς σε διάφορους τομείς. Για αυτό και χρησιμοποιούνται.

Ε ναι, ποιοι είναι οι τομείς δεν ήξερα. Είπαν ότι χρησιμεύει στη Φυσική του ηλεκτρισμού. Έχει κι άλλες εφαρμογές;
Καλό αυτό με τον Άδωνη

Υπάρχουν πάρα πολλές εφαρμογές της complex algebra.
Αυτά που ξέρω εγώ είναι ότι χρησιμεύει στα δυναμικά συστήματα, ταλαντώσεις, έλεγχος κ.τ.λ.

complex algebra τι είναι; Για τις ταλαντώσεις νομίζω ότι το καταλαβαίνω. Αφού πιο πριν περιέγραψε ο mimic

Αν το πρόσημο δηλώνει κατεύθυνση, έχεις +1 αυτοκίνητο που κατευθύνεται προς βορρά. Το πολλαπλασιάζεις με το i, και το στρέφεις 90 μοίρες αριστερά. Το ξαναπολλαπλασιάζεις με το i, και τώρα κοιτάει στην αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή έχεις -1 αυτοκίνητο. Επομένως i*i = -1. Το πολλαπλασιάζεις άλλες δυο φορές με το i, και γυρνάει πάλι στην αρχική κατεύθυνση: i*i*i*i = +1.

Όταν τώρα συνδυάσεις τους φανταστικούς με πραγματικούς, παίρνεις τους μιγαδικούς. Και αυτός ο συνδυασμός σου δίνει άπειρες "γωνίες περιστροφής". Δηλαδή το i+1 είναι στροφή 45 μοιρών.

σκέφτομαι ότι έχει να κάνει με αυτό. όταν δηλαδή το ταλαντευόμενο σώμα, όχι υλικό απαραίτητα, βρίσκεται στο ένα ή στο άλλο άκρο. Με τους μιγαδικούς μάλλον περιγράφεις τη θέση του, την κατεύθυνσή του και τέτοια.

[marabou]

Μακάρι να υπήρχε μία ενότητα κάτι σαν φροντιστήριο όπου όποιος ξέρει κάτι να το μαθαίνει στους υπόλοιπους.

[hellegennes]

Κύριες εφαρμογές είναι
* ηλεκτρονικά
* κβαντική φυσική
* ρευστοδυναμική
Δηλαδή στα πάντα, βασικά.

Το "φανταστικοί" δεν σημαίνει ότι είναι "παιγνίδι". Και το μηδέν (0) κάποτε ήταν φανταστικό. Στη Αρχαία Ελλάδα πχ, που δεν υπήρχε, έπεφτε πολύ γέλιο αν έλεγες ότι το "τίποτα είναι πραγματικό!", κάτι που σήμερα το δεχόμαστε χωρίς καν δεύτερη σκέψη. Με την άφηξή του όμως συμπληρώθηκε η απλή αριθμητική, και έτσι έγινε αποδεκτό. Το ίδιο με τους άρρητους αριθμούς. Υπήρχε λόγος που τους λέγαν άρρητους πριν τους κατανοήσουν, ήταν κάτι σαν ταμπού. Οι Πυθαγόρειοι μάλιστα λέγεται ότι δολοφόνησαν κάποιον που επέμενε. Το ίδιο και με τους αρνητικούς αριθμούς.

Οτιδήποτε καινούργιο μπορεί αρχικά να φαίνεται παράξενο, όπως οι μιγαδικοί τον 17ο αιώνα,αλλά κατακτά την θέση του συμπληρώνοντας κενά στα υπάρχοντα μαθηματικά. Πχ, Με μιγαδικούς κάθε πολυώνυμο βαθμού Ν έχει Ν ρίζες. Αυτό δεν μπορεί να επιτευχθεί με πραγματικούς αριθμούς, οπότε τσούπ, αμέσως βρήκε λόγο ύπαρξης, και γκαραντί ότι θα υπήρχαν εφαρμογές, όπως η εύκολη πρόσθεση με δεκαδικούς αριθμούς είχε γκαραντί ότι θα έβρισκε εφαρμογές στο εμπόριο.

Είχα την εντύπωση ότι αυτά διδάσκονταν στα σχολεία από το γυμνάσιο κιόλας. Δεν;;;

Νομίζω ότι οι αρνητικοί αριθμοί είναι το καλύτερο αντίστοιχο παράδειγμα γιατί κι αυτοί φανταστικοί είναι.

Βασικά και οι θετικοί επίσης. Όλοι οι αριθμοί.

Καταλαβαίνω τι λες αλλά είναι διαφορετικής φύσης ανυπαρξία. Μπορείς να ορίσεις κάτι που είναι μετρήσιμο και να πεις π.χ. 1 άνθρωπος, 2 άνθρωποι, κτλ. Στους αρνητικούς αριθμούς το φανταστικό κομμάτι δεν είναι θέμα ορισμού του αντικειμένου μέτρησης, είναι θέμα της ποσότητας. Δεν υπάρχουν -2 άνθρωποι, υφίσταται μόνο σαν πράξη ή μάλλον είναι πρόσημο πράξης, όχι ποσότητα. Αργότερα αρχίσαμε να το χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε κατεύθυνση σε ένα σύστημα συντεταγμένων και ακόμη αργότερα για να δηλώσουμε αντίρροπες ποσότητες, όπως στον ηλεκτρομαγνητισμό.

[nyxtovios]

Ε ναι, ποιοι είναι οι τομείς δεν ήξερα. Είπαν ότι χρησιμεύει στη Φυσική του ηλεκτρισμού. Έχει κι άλλες εφαρμογές;
Καλό αυτό με τον Άδωνη

Υπάρχουν πάρα πολλές εφαρμογές της complex algebra.
Αυτά που ξέρω εγώ είναι ότι χρησιμεύει στα δυναμικά συστήματα, ταλαντώσεις, έλεγχος κ.τ.λ.

complex algebra τι είναι; Για τις ταλαντώσεις νομίζω ότι το καταλαβαίνω. Αφού πιο πριν περιέγραψε ο mimic

Complex είναι οι μιγαδικοί στα αγγλικά

[foscilis]

Έχουν χρήση σε κάποιες επιστήμες. Όπως για παράδειγμα σε προβλήματα ηλεκτρικών κυκλωμάτων.

Δεν μπορείς να πεις κάτι παραπάνω;

Στα κυκλώματα που κάνεις στο σχολείο έχεις τάση = αντίσταση * ένταση ρεύματος πράγμα που είναι σωστό για συνεχές ρεύμα και απλή αντίσταση.

Στα αληθινά κυκλώματα έχεις εναλλασσόμενο ρεύμα που έχει και συχνότητα εκτός από ένταση ενώ υπάρχουν και δύο άλλα είδη στοιχείου, ο πυκνωτής και το πηνίο. Η σχέση της τάσης και του ρεύματος περιγράφεται από πολύ πιο σύνθετες εξισώσεις με ρίζες αθροισμάτων τετραγώνων πηλίκα και μαλακίες, όμως αν χρησιμοποιήσεις μιγαδικούς είναι πάλι τάση = αντίσταση * ένταση ρεύματος (βέβαια η μιγαδική αντίσταση που περιγράφει και πυκνωτές και πηνία λέγεται εμπέδηση όχι αντίσταση αλλά αυτό είναι θέμα ορολογίας).

Δηλαδή οι μιγαδικοί σε γενικές γραμμές σου επιτρέπουν κυματική φαινόμενα (όπως είναι το εναλλασσόμενο ρεύμα και το τι παθαίνει περνώντας από ένα πηνίο) να τα αναπαραστάσεις με απλές γραμμικές αλγεβρικές σχέσεις αντί για σχέσεις τριγωνομετρίας.

[marabou]

Παιδιά θα βγω καλύτερος από σας στο τέλος.

Πως σας φαίνεται η ιδέα για μία τέτοια ενότητα όπως είπα; Καταλαβαίνω καλά όμως ότι μπορεί να βαριέστε.

[exiledd]

Καλό αυτό που λέει ο Φός και ο mic ότι η φανταστική μονάδα, το φανταστικό μερος ενός μιγαδικου αριθμού, (γιατί υπάρχει και το πραγματικό μέρος, εξ'ου και το όνομα:μιγαδικος, μπάσταρδος αριθμός δλδ) έχει να κάνει με περιστροφές

Άρα τα τετραδόνια, τα quaternia του Χάμιλτον που και αυτά χειρίζονται περιστροφές πχ σε γραφικά computer game, είναι μιγαδικοί on steroids...(καρτεσιανά αναπαριστώνται σε 3 διαστάσεις νομίζω)

[Allah]

Καλό αυτό που λέει ο Φός και ο mic ότι η φανταστική μονάδα, το φανταστικό μερος ενός μιγαδικου αριθμού, (γιατί υπάρχει και το πραγματικό μέρος, εξ'ου και το όνομα:μιγαδικος, μπάσταρδος αριθμός δλδ) έχει να κάνει με περιστροφές

Άρα τα τετραδόνια, τα quaternia του Χάμιλτον που και αυτά χειρίζονται περιστροφές πχ σε γραφικά computer game, είναι μιγαδικοί on steroids...(καρτεσιανά αναπαριστώνται σε 3 διαστάσεις νομίζω)

Είναι από τις πιο εύχρηστες αναπαραστάσεις περιστροφών σε χώρο τριών διαστάσεων, γιατί είναι απόλυτες στα πλαίσια του συστήματος αναφοράς τους. Δεν χρειάζεται να γνωρίζεις την σειρά των περιστροφών ανά άξονα, ούτε τις σχετικές κατευθύνσεις των αξόνων ως προς το σύστημα αναφοράς. Ένα τετραδόνιο περιέχει μέσα σε τέσσερεις βαθμούς ελευθερίας όλη την απαραίτητη πληροφορία.

Και κάτι άλλες μαθηματικές ιδιότητες, κούπες μεν αλλά πολύ χρήσιμες. Π.χ. αν έχεις περιστροφές σε διαδοχικά σχετικά συστήματα αναφοράς, όπως σε έναν βραχίονα με αρθρώσεις, μπορείς να υπολογίσεις το τετραδόνιο της ολικής περιστροφής πανεύκολα: απλά πολλαπλασιάζεις με τη σειρά τα επί μέρους τετραδόνια που αναπαριστούν τις περιστροφές της κάθε άρθρωσης.

Αυτό τα καθιστά εξαιρετικά χρήσιμα σε γραφικά, animation και ρομποτική - βασικά χωρίς αυτά δεν κάνεις δουλειά.

[Imperium]

Ναι, 4 διαστάσεις τα τετραδόνια, όπως λέει και ο Αλλαχ, όχι τρείς. Μία πραγματική και 3 φανταστικές, i,j & k.

Η άλγεβρά τους έχει πολύ πλάκα, πράγματι σαν 3-διαστατοι μιγαδικοι, με ένα εξτρα τουιστ:

i²=j²=k²=-1 αλλα και í×j×k=-1 (!!!)

Απο τα άνωθεν προκύπτει οτι i×j ≠ j×i, άλλα i×j = -j×i που νομίζω οτι ήταν το πρώτο παραδειγμα anti-commutativity (αντιμεταθετικότητα ή όπως αλλιώς το λένε Ελληνικά, διορθώστε με αν το είπα λάθος). Το φαινόμενο το ξανασυναντάμε αργότερα στον πολλαπλασιασμό πινάκων.

===

Το θέμα με όλα αυτά, οπως πολύ όμορφα επισήμανε ο nyxtovios είναι οτι δεν βγάζει νόημα να αναρωτιέσαι ΤΙ είναι ο μιγαδικός αρθμός, ή το τετραδώνιο, ή οι 4+ διαστάσεις, ή όποιαδήποτε άλλη αφηρημένη έννοια, γιατι ο νους σου δεν έχει την ικανότητα να το συλλάβει.

Μπορεις όμως κάλλιστα να αναρωτηθείς "τι μπορούμε να κάνουμε, να καταφέρουμε, με αυτές τις έννοιες, που να μας επιτρέπει να καταλάβουμε αυτό που ΔΕΝ μπορούμε να δουμε". Και αυτός είναι και ο σκοπός των μαθηματικών.

[nyxtovios]

Ναι, 4 διαστάσεις τα τετραδόνια, όπως λέει και ο Αλλαχ, όχι τρείς. Μία πραγματική και 3 φανταστικές, i,j & k.

Η άλγεβρά τους έχει πολύ πλάκα, πράγματι σαν 3-διαστατοι μιγαδικοι, με ένα εξτρα τουιστ:

i²=j²=k²=-1 αλλα και í×j×k=-1 (!!!)

Απο τα άνωθεν προκύπτει οτι i×j ≠ j×i, άλλα i×j = -j×i που νομίζω οτι ήταν το πρώτο παραδειγμα anti-commutativity (αντιμεταθετικότητα ή όπως αλλιώς το λένε Ελληνικά, διορθώστε με αν το είπα λάθος). Το φαινόμενο το ξανασυναντάμε αργότερα στον πολλαπλασιασμό πινάκων.

===

Το θέμα με όλα αυτά, οπως πολύ όμορφα επισήμανε ο nyxtovios είναι οτι δεν βγάζει νόημα να αναρωτιέσαι ΤΙ είναι ο μιγαδικός αρθμός, ή το τετραδώνιο, ή οι 4+ διαστάσεις, ή όποιαδήποτε άλλη αφηρημένη έννοια, γιατι ο νους σου δεν έχει την ικανότητα να το συλλάβει.

Μπορεις όμως κάλλιστα να αναρωτηθείς "τι μπορούμε να κάνουμε, να καταφέρουμε, με αυτές τις έννοιες, που να μας επιτρέπει να καταλάβουμε αυτό που ΔΕΝ μπορούμε να δουμε". Και αυτός είναι και ο σκοπός των μαθηματικών.